Stel dat \(\lambda = 4\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{4 & 0 \\ -3 & 5}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=4\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-4 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-4 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-4 I = \matrix{4 & 0 \\ -3 & 5} - \matrix{4 & 0 \\0& 4 }=\matrix{ 0 & 0 \\ -3 & 1}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{0&0\\-3&1\\}&\sim\matrix{-3&1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}R_2\\R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-{{1}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{3}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 4\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\-3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(4\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\-3}\right\rangle\)