Stel dat \(\lambda = -1\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{-1 & 0 \\ 9 & 2}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-1\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+I = \matrix{-1 & 0 \\ 9 & 2} - \matrix{-1 & 0 \\0& -1 }=\matrix{ 0 & 0 \\ 9 & 3}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{0&0\\9&3\\}&\sim\matrix{9&3\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}R_2\\R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&{{1}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{9}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -1\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{1\\-3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-1\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{1\\-3}\right\rangle\)