Stel dat \(\lambda = 2\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{2 & 0 \\ -5 & -3}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=2\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-2 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-2 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-2 I = \matrix{2 & 0 \\ -5 & -3} - \matrix{2 & 0 \\0& 2 }=\matrix{ 0 & 0 \\ -5 & -5}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{0&0\\-5&-5\\}&\sim\matrix{-5&-5\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}R_2\\R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{5}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 2\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(2\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\1}\right\rangle\)