Stel dat \(\lambda = -4\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{5 & -18 \\ 3 & -10}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-4\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+4 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+4 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+4 I = \matrix{5 & -18 \\ 3 & -10} - \matrix{-4 & 0 \\0& -4 }=\matrix{ 9 & -18 \\ 3 & -6}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{9&-18\\3&-6\\}&\sim\matrix{1&-2\\3&-6\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{9}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-2\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-3R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -4\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-2\\-1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-4\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-2\\-1}\right\rangle\)