Stel dat \(\lambda = -3\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{-3 & 16 \\ 0 & 5}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-3\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+3 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+3 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+3 I = \matrix{-3 & 16 \\ 0 & 5} - \matrix{-3 & 0 \\0& -3 }=\matrix{ 0 & 16 \\ 0 & 8}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{0&16\\0&8\\}&\sim\matrix{0&1\\0&8\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{16}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{0&1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-8R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -3\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\0} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-3\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\0}\right\rangle\)