Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt
Richtingsafgeleide
De partiële afgeleide \(f_x(a,b)\) van \(f(x,y)\) is de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(x\)-as. Net zo is \(f_y(a,b)\) de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(y\)-as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) kijken; als we dan een raakvector met lengte \(1\) nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.
De richtingsafgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van \((a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)\) is \[\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}\]
Reken de richtingsafgeleide van de functie \[f(x,y)=x^2 y+x y-x^2\] in \((1,-1)\) in de richting van \((-1,1)\) exact uit.
We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
\[f_x(x,y)=2 x y+y-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=x^2+x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(1,-1)=-5\qquad\text{en}\qquad f_y(1,-1)=2\] De richting is van \((1,-1)\) naar \((-1,1)\) en dus \[{\vartriangle}x=-2\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=2\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((1,-1)\) in de richting van \((-1,1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{-5\times (-2)+2\times 2}{\sqrt{(-2)^2+2^2}}=\frac{14}{\sqrt{8}}={{7}\over{\sqrt{2}}}\]
\[f_x(x,y)=2 x y+y-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=x^2+x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(1,-1)=-5\qquad\text{en}\qquad f_y(1,-1)=2\] De richting is van \((1,-1)\) naar \((-1,1)\) en dus \[{\vartriangle}x=-2\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=2\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((1,-1)\) in de richting van \((-1,1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{-5\times (-2)+2\times 2}{\sqrt{(-2)^2+2^2}}=\frac{14}{\sqrt{8}}={{7}\over{\sqrt{2}}}\]
Ontgrendel volledige toegang
