Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt
Richtingsafgeleide
De partiële afgeleide \(f_x(a,b)\) van \(f(x,y)\) is de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(x\)-as. Net zo is \(f_y(a,b)\) de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(y\)-as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) kijken; als we dan een raakvector met lengte \(1\) nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.
De richtingsafgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van \((a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)\) is \[\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}\]
Reken de richtingsafgeleide van de functie \[f(x,y)=y^2-x^2\] in \((0,-1)\) in de richting van \((1,0)\) exact uit.
We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
\[f_x(x,y)=-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 y\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(0,-1)=0\qquad\text{en}\qquad f_y(0,-1)=-2\] De richting is van \((0,-1)\) naar \((1,0)\) en dus \[{\vartriangle}x=1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=1\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((0,-1)\) in de richting van \((1,0)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{0\times 1-2\times 1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\]
\[f_x(x,y)=-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 y\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(0,-1)=0\qquad\text{en}\qquad f_y(0,-1)=-2\] De richting is van \((0,-1)\) naar \((1,0)\) en dus \[{\vartriangle}x=1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=1\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((0,-1)\) in de richting van \((1,0)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{0\times 1-2\times 1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\]
Ontgrendel volledige toegang
