\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\(3\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((3,2,0)\), \((0,2,0)\) en \((0,2,3)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=2\) en \(2z=3y-2x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y={{2}\over{3}}x}^{y=2}\left(\int_{z=0}^{z={{3}\over{2}}y-x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y={{2}\over{3}}x}^{y=2} ({{3}\over{2}}y-x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3}\biggl[{{3}\over{4}}y^2-xy\biggr]_{y={{2}\over{3}}x}^{y=2}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3} \bigl(3-2x+{{1}\over{3}}x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[3x-x^2+{{1}\over{9}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= 3\end{aligned}\]