\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\(1\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((2,3,0)\), \((0,3,0)\) en \((0,3,1)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=3\) en \(6z=2y-3x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y={{3}\over{2}}x}^{y=3}\left(\int_{z=0}^{z={{1}\over{3}}y-{{1}\over{2}}x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y={{3}\over{2}}x}^{y=3} ({{1}\over{3}}y-{{1}\over{2}}x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\biggl[{{1}\over{6}}y^2-{{1}\over{2}}xy\biggr]_{y={{3}\over{2}}x}^{y=3}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2} \bigl({{3}\over{2}}-{{3}\over{2}}x+{{3}\over{8}}x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[{{3}\over{2}}x-{{3}\over{4}}x^2+{{1}\over{8}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= 1\end{aligned}\]