Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Vergelijkingen en ongelijkheden die logaritmen met verschillend grondtal bevatten
Wanneer er in een vergelijking of ongelijkheid logaritmen met een verschillend grondtal aanwezig zij, dan helpt de rekenregel \[\log_g(x) =\frac{\log_h(x)}{\log_h(g)}\] om alle logaritmen om te zetten naar logaritmen met hetzelfde grondtal.
Onderstaande voorbeelden laten zien het dat gaat.
\(x={}\)\(9\)
De gegeven vergelijking is: \[\log_{3}(x)+\log_{9}(x)=3\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(3\). Dus: \[\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{\log_{3}(9)}=3\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{\log_{3}(3^{2})}&=\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{2}\\[0.25cm] &=\log_{3}(x)\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)=\frac{3}{2}\log_{3}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{3}{2}\log_{3}(x)=3\] oftewel \[\log_{3}(x)=2\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 3 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=3^{2}\\[0.25cm] &=9\end{aligned}\]
De gegeven vergelijking is: \[\log_{3}(x)+\log_{9}(x)=3\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(3\). Dus: \[\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{\log_{3}(9)}=3\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{\log_{3}(3^{2})}&=\log_{3}(x)+\frac{\log_{3}(x)}{2}\\[0.25cm] &=\log_{3}(x)\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)=\frac{3}{2}\log_{3}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{3}{2}\log_{3}(x)=3\] oftewel \[\log_{3}(x)=2\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 3 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=3^{2}\\[0.25cm] &=9\end{aligned}\]
Ontgrendel volledige toegang
