Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsongelijkheden met één onbekende
Oplossen van tweedegraadsongelijkheden via herleiding en/of ontbinding in factoren
De stappen in het oplossen van een tweedegraadsongelijkheid met één onbekende door herleiding zijn dezelfde als bij het oplossen van een tweedegraadsvergelijking via herleiding:
- aan beide zijden dezelfde term optellen of aftrekken;
- beide zijden met hetzelfde getal ongelijk aan nul vermenigvuldigen of delen;
- gelijksoortige termen samenvoegen.
\(L<R\) is gelijkwaardig met
\(L+A<R+A\) en met \(L-A<R-A\)
\(L>R\) is gelijkwaardig met
\(L+A>R+A\) en met \(L-A>R-A\)
Hierbij is \(A\) een willekeurige uitdrukking.
Voorbeeld
\[\begin{aligned} 4x^2+1&>5\\[0.25cm] 4x^2+1-1&>5-1\\[0.25cm] 4x^2&>4\end{aligned}\]
Als \(A>0\), dan is \(L<R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L<A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}<\dfrac{R}{A}\)
Als \(A>0\), dan is \(L>R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L>A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}>\dfrac{R}{A}\)
Als \(A<0\), dan is \(L<R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L>A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}>\dfrac{R}{A}\)
Als \(A<0\), dan is \(L>R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L<A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}<\dfrac{R}{A}\)
Hierbij is \(A\) een willekeurig getal ongelijk aan nul.
Als je voor \(x\) in de ongelijkheid \(L<R\) een oplossing invult, dan worden \(L\) en \(R\) getallen waarbij \(L\) links van \(R\) ligt op de getallenlijn. Als je beide getallen vermenigvuldigt met een getal \(A\) of deelt door \(A\), hangt het van het teken van \(A\) af of de onderlinge positie op de getallenlijn wel of niet verandert.
Stel bijvoorbeeld dat je na substitutie van \(x\) uitkomt op \(L=2\) en \(R=3\). Dan geldt dus \(L<R\) en ligt \(L\) links van \(R\) ligt op de getallenlijn. Als je in de ongelijkheid links en recht vermenigvuldigt met \(2\), krijg je \(4<6\) en dat is waar. Maar had je in plaats daarvan links en rechts in de ongelijkheid met \(-2\) vermenigvuldigt, dan krijg je \(-4<-6\) en dat is onjuist; de ware bewering is \(-4>-6\) en het vergelijkingsteken 'klapt om' omdat het getal dat eerst het meest links op de getallenlijn lag nu juist het meest rechts komt te liggen.
Met bovenstaande regels kun je kwadratische ongelijkheden oplossen, dat wil zeggen herleiden tot een ongelijkheid waarin de onbekende geïsoleerd is en links in een ongelijkheid staat. Kwadraatsafsplitsing en ontbinding in factoren is hierbij handig.
Kwadratische ongelijkheid oplossen via kwadraatafsplitsing Stel dat je door herleiding uitgekomen bent op de ongelijkheid \[a(x+p)^2+q<0\] voor zekere reële getallen \(a\), \(p\), \(q\) en \(a\neq 0\).
Als \(a>0\) dan is dit equivalent met de ongelijkheid \((x+p)^2<\dfrac{q}{a}\). We onderscheiden drie gevallen:
- als \(q<0\), dan zijn er geen oplossingen.
- als \(q=0\), dan is \(x=-p\) de enige oplossing.
- als \(q>0\), dan \(-\sqrt{\dfrac{q}{a}}<x+p<\sqrt{\dfrac{q}{a}}\), oftewel \(-p-\sqrt{\dfrac{q}{a}}<x<-p+\sqrt{\dfrac{q}{a}}\)
Als \(a<0\) dan is dit equivalent met de ongelijkheid \((x+p)^2>\dfrac{q}{a}\). We onderscheiden drie gevallen:
- als \(q<0\) voldoen alle reële getallen omdat een kwadraat van een reëel getal altijd groter dan of gelijk aan \(0\) is.
- als \(q=0\), dan is \(x=-p\) de enige oplossing.
- als \(q>0\), dan \(x+p<-\sqrt{\dfrac{q}{a}}\;\vee x+p>\sqrt{\dfrac{q}{a}}\), oftewel \(x<-p-\sqrt{\dfrac{q}{a}}\;\vee\;x<-p+\sqrt{\dfrac{q}{a}}\)
Kwadratische ongelijkheid oplossen via ontbinding in factoren Stel dat je de ongelijkheid kunt schrijven als \[a(x+p)(x+q)>0\] voor zekere reële getallen \(a\), \(p\), \(q\) en \(a\neq 0\).
Als \(a>0\), dan is dit equivalent met de ongelijkheid \((x+p)(x+q)>0\). We onderscheiden twee gevallen:
- als \(x+p>0\) en \(x+q>0\) , dan moet \(x>-p\) en \(x>-q\), oftewel \(x>\max(-p,-q)\).
- als \(x+p<0\) en \(x+q<0\) , dan moet \(x<-p\) en \(x<-q\), oftewel \(x<\min(-p,-q)\).
Als \(a<0\), dan is de ongelijkheid equivalent met \((x+p)(x+q)<0\) met als oplossing \(\min(-p,-q)<x<\max(-p,-q)\).
Enkele voorbeelden ter illustratie:
