\(x<-1 \lor x > 3\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-3 > 2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-3 = 2 x \) oftwel \( x^2-2 x-3 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{2\pm \sqrt{(2)^2-4 \cdot 1 \cdot -3}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm 4}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-1\quad \text{of}\quad x=3\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-1\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-3)^2-3=6\] Het rechterlid heeft als waarde \[2 \cdot -3=-6\] dus voor \(x<-1\) geldt dat \(x^2-3 > 2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-1<x<3\), bijvoorbeeld \(x=0\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(0)^2-3=-3\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[2\cdot 0=0\] Dus voor \(-1<x<3\) is \(x^2-3 < 2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>3\), bijvoorbeeld \(x=4\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(4)^2-3=13\] en het rechterlid heeft de waarde \[2 \cdot 4=8\] Dus voor \(x>3\) is \(x^2-3>2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-3 > 2 x\] als \(x<-1\) of \(x>3\).