Vectoren: De begrippen vector en vectorruimte
Assenstelsel
Scheef assenstelsel Om een assenstelsel in een plat vlak te creëren hebben we drie punten, zeg \(O\), \(Q_1\) en \(Q_2\), nodig die niet op één lijn liggen. Het punt \(O\) kiezen we als oorsprong in het vlak. De lijn \(OQ_1\) kunnen we als eerste coördinaatas gebruiken, en de lijn \(OQ_2\) kunnen we als tweede coördinaatas gebruiken. De punten \(Q_1\) en \(Q_2\) kunnen we dan respectievelijk de coördinaten \((1,0)\) en \((0,1)\) geven. Elk punt \(P\) in het vlak kunnen we dan schrijven als de optelling van twee vectoren langs de coördinaatassen, die veelvouden zijn van de vectoren \(\vec{OQ_1}\) en \(\vec{OQ_2}\). De scalairen zijn de coördinaten van het punt \(P\). De vectoren \(\vec{OQ_1}\) en \(\vec{OQ_2}\) noemen we ook wel de eenheidsvectoren in het assenstelsel van het vlak. Zie onderstaande figuur met een scheef assenstelsel.
De coördinaatasssen in dit assenstelsel kunnen we opvatten als getallenlijnen en elk getal op een coördinaatas correspondeert dan met een punt op de as en dus met een vector vanuit de oorsprong langs de coördinaatas.
Cartesisch assenstelsel In een Cartesisch assenstelsel staan de coördinaatassen onderling loodrecht op elkaar en is het lengtebegrip langs beide assen gelijk gekozen. In onderstaande figuur zijn de twee eenheidsvectoren in blauw en rood getekend. De punten in het vlak met gehele coördinaten vormen samen een rooster. In onderstaande figuur zijn ook de roosterlijnen getekend zodat je ruitjespapier krijgt (de turquoise kleuring is er alleen ter versiering).
Scheef ruitjespapier Een rooster bij een assenstelsel is niet exclusief voor een Cartesisch assenstelsel. Onderstaande figuur illustreert hoe ook scheef ruitjespapier gemaakt kan worden bij een scheef assenstelsel. Roosterpunten hebben in dit assenstelsel weer gehele coördinaten en de roosterlijnen lopen parallel aan een van de twee coördinaatassen.
Constructie van een Cartesisch assenstelsel bij drie punten Een Cartesisch assenstelsel kunnen we in het platte vlak naar eigen keuze vastleggen. Dit kunnen we bij elk drietal punten, zeg \(O\), \(P\) en \(Q\), nodig die niet op één lijn liggen zodanig doen dat
- het punt \(O\) coördinaten \((0,0)\) heeft,
- het punt \(P\) de coördinaten \((p,0)\) heeft voor zekere \(p>0\),
- het punt \(Q\) de coördinaten \((q_1, q_2)\) heeft voor zekere \(q_1 \) en \(q_2\) met \(q_2 > 0\).
Zie onderstaande figuur.
Op schaling na is dit Cartesische assenstelsel uniek. Zo'n constructie van een Cartesisch assenstelsel helpt om meetkundige problemen te vertalen naar problemen die zich in coördinaten laten beschrijven en hiermee op te lossen zijn.
Met een keuze van een Cartesisch assenstelsel in een vlak krijgen we een coördinaatvlak dat we met \(\mathbb{R}^2\) aanduiden. Op soortgelijke wijze kunnen we een assenstelsel in een driedimensionale ruimte construeren uit vier punten die niet in één vlak liggen. Als de coördinaatassen onderling loodrecht op elkaar staan en gelijke schaling hebben spreken we weer van een Cartesisch coördinatenstelsel en is er sprake van een coördinaatruimte die we met \(\mathbb{R}^3\) aanduiden.
