Vectoren: De begrippen vector en vectorruimte
Vectoren in een vlak of ruimte
Scalair of vectorieel? Fysische grootheden zoals massa, lengte, en temperatuur hebben waarden die gespecificeerd worden in één waarde in geschikte eenheden. Dergelijke grootheden, die alleen een grootte hebben, noemen we scalaire grootheden. Bij andere grootheden heb je meerdere getallen nodig: denk bijvoorbeeld aan positie, waarbij je twee of drie getallen nodig hebt, namelijk de coördinaten t.o.v. een gekozen assenstelsel. Een punt in een meetkundig vlak of ruimte wordt ook bepaald door de afstand tot de oorsprong en de richting vanuit de oorsprong naar de gegeven plaats. Fysische grootheden worden vectoriële grootheden als ze behalve een grootte ook een richting hebben. Andere voorbeelden van vectoriële grootheden zijn snelheid, kracht en elektrisch veld.
Notatie voor vectoren Doorgaans worden vectorgrootheden in boeken genoteerd met vetgedrukte symbolen, of met symbolen voorzien van een horizontaal en naar rechts gericht pijltje erboven, zoals in \(\mathbf{a}\) voor versnelling en \(\vec{F}\) voor kracht.
Wij zullen steeds de pijltjesnotatie gebruiken omdat deze notatie hanteerbaar is met pen en papier.
We lichten het vectorbegrip toe aan de hand van vectoren in een meetkundig vlak. Met een meetkundige vlak bedoelen we een plat vlak en we noteren dit met \(\mathbb{E}^2\). We onderscheiden dit vlak van het coördinaatvlak \(\mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x\in \mathbb{R}\text{ en }y\in \mathbb{R}\} \) waarin een assenstelsel is gekozen. Een punt in een meetkundig vlak is dus niet gelijk aan een stel coördinaten, want deze heb je pas na keuze van een assenstelsel. Wel hebben we het begrip lengte in een meetkundig vlak nodig: wiskundigen gebruiken de term norm i.p.v lengte en spreken over een genormeerd vlak.
Vectoren in een vlak Onder een vrije vector, kortweg vector genoemd, verstaan we een pijl in het vlak met een zekere richting en lengte. Met andere woorden: een vector is een lijnstuk tussen twee punten in het vlak met een richting; de plaatsing van de vector in het vlak is niet van belang. Het gaat om de equivalentieklasse van pijlen.
De norm of gewoon lengte van de vector is de lengte van het lijnstuk. De lengte van een vector \(\vec{v}\) wordt meestal genoteerd als \(\lVert\vec{v}\rVert\).
Verslepen we een vector zodat zijn beginpunt elders komt te liggen (maar richting en lengte onveranderd blijven), dan beschouwen we deze nieuwe pijl als een representant van dezelfde vector.
De vector die een representant heeft met beginpunt \(P\) en eindpunt \(Q\) wordt ook wel met \(\vec{PQ}\) aangeduid.
Hieronder bekijken we een meetkundig vlak met een vast gekozen oorsprong \(O\). Hierin is een groene positievector \(\vec{v}\) getekend, die je kunt wijzigen door de punt aan het einde van de pijl te verslepen. Bovendien zijn enkele vectoren in blauw getekend die representant zijn van \(\vec{v}\).
Versleep de punt van de groene pijl en zie hoe de representanten mee veranderen.
De nulvector Er is één bijzondere vector, namelijk een vector van lengte \(0\). Deze vector bepaalt geen richting. We geven de nulvector aan met \(\vec{0}\).
Als \(P\) een punt in het vlak is, dan is de vector \(\vec{PP}\) een representant van de nulvector.
Correspondentie tussen vector en punt Zodra we een oorsprong in een vlak vastleggen is het een goed gebruik om vectoren te laten starten in de oorsprong. De vector wordt dan uniek bepaald door het eindpunt, zodat vectoren gezien kunnen worden als punten in het vlak: het punt \(P\) wordt dan geïdentificeerd met de vector \(\vec{OP}\). Als we heel precies willen zijn spreken we in dit geval van een plaatsvector. Als er geen misverstand kan ontstaan, dan korten we de vectornotatie bij een punt \(P\) af tot \(\vec{P}\). De rechte lijn door de oorsprong en het punt \(P\) noemen we ook wel de drager of het opspansel van de vector \(\vec{P}\). We noteren dit ook met \(\langle\,\vec{P}\,\rangle\).
De lengte van de plaatsvector \(\vec{OP}\) is gelijk aan de afstand tussen de punten \(O\) en \(P\).
