Vectoren: Rechte lijnen en vlakken
Vectorvoorstelling van een lijn in ℝ²
In de rest van dit hoofdstuk bespreken we de meetkundige toepassing van vectoren: in het platte vlak \(\mathbb{R}^2\) en de ruimte \(\mathbb{R}^3\) kunnen we gemakkelijker nieuwe lineaire algebra begrippen introduceren dan in meer complexe vectorruimten, waarin de begrippen ook te hanteren zijn. We beginnen met een rechte lijn in het platte vlak
Vectorvoorstelling van een rechte lijn De vectoren \(\vec{x}\) die de punten op een rechte lijn \(\ell\) aanwijzen laten zich in het algemeen beschrijven met een zogenaamde vectorvoorstelling (of parametervoorstelling), d.w.z. met een recept van de volgende vorm: \[\ell : \,\vec{x} = \vec{u} + \lambda\cdot\vec{v}\] Hierin is de scalar \(\lambda\), ook wel in deze context parameter genoemd, vrij te kiezen. In plaats van \(\lambda\) mag je ook een andere letter gebruiken, bijvoorbeeld \(t\), maar wij zullen in oefeningen bijna altijd de wiskundige conventie volgen en de Griekse letter gebruiken. Verder zijn de enige restricties op de vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) dat ze 2-dimensionaal zijn en dat \(\vec{v}\) niet de nulvector is.
De vector \(\vec{u}\) is een steunvector van de rechte lijn \(\ell\); deze wijst naar een zeker punt op de lijn. De vector \(\vec{v}\) is een zogenaamde richtingsvector.
Steunpunt In plaats van steunvector zullen we ook van steunpunt spreken. Het gaat hier immers om een punt in het vlak, dat het eindpunt is van de representant van de steunvector die het beginpunt in de oorsprong heeft liggen.
Onderstaande figuur illustreert de vectorvoorstelling van een rechte lijn. De steunvector is rood gekleurd, de richtingsvector is groen, en het scalaire veelvoud van de richtingsvector is verschoven naar een zwarte vector op de lijn. Je kunt de steunvector en richtingsvector aanpassen door hun eindpunten te verslepen.
Ga na dat verplaatsing van de steunvector alleen de positie van de lijn verandert, maar niet zijn richting.
\(\phantom{x}\)
Bekijk de volgende voorbeelden om te leren hoe
- een vectorvoorstelling van een lijn door twee punten te bepalen;
- een vergelijking van een lijn, in de vorm \(a\cdot x+b\cdot y=c\), te vinden bij een gegeven vectorvoorstelling;
- een vectorvoorstelling te bepalen bij een gegeven vergelijking van een lijn.
(Er zijn meer correcte antwoorden)
Het eindpunt van de vector \(\vec{OP}= \cv{-3\\-5} \) ligt op \(\ell\) en kan dus als steunvector gebruikt worden.
Voor de richtingsvector kiezen we de vector met beginpunt \(P\) en eindpunt \(Q\), d.w.z. \(\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}\): \[ \vec{PQ}=\cv{5\\4} -\cv{-3\\-5} = \cv{5 +3 \\ 4 +5} = \cv{8 \\ 9}\tiny.\] Een vectorvoorstelling is dus \[ \cv{x\\y} = \cv{-3\\-5} + \lambda\cdot \cv{8 \\ 9}\tiny.\]
Er zijn meer correcte vectorvoorstellingen, bijvoorbeeld: \[ \cv{x\\y} = \cv{5\\4} +\lambda\cdot \cv{16 \\ 18}\tiny.\] Elke vector op de lijn kan als steunvector gebruikt worden en elk scalair veelvoud van de richtingsvector ongelijk aan de nulvector kan als nieuwe richtingsvector fungeren.
