Vectorvoorstelling van een lijn en vlak in ℝ³

Vectoren: Rechte lijnen en vlakken

Vectorvoorstelling van een lijn en vlak in ℝ³

Ook lijnen in de 3-dimensionale ruimte kunnen we beschrijven met behulp van vectorvoorstellingen. We hebben opnieuw enkel een steunvector en een richtingsvector nodig.

De vectoren $\vec{x}$ die de punten op een rechte lijn $\ell$ aanwijzen laten zich in het algemeen beschrijven met een zogenaamde vectorvoorstelling (of parametervoorstelling), d.w.z. met een recept van de volgende vorm: $\ell : \,\vec{x} = \vec{u} + \lambda\cdot\vec{v}$ Hierin is de scalar $\lambda$ , ook wel in deze context parameter genoemd, vrij te kiezen en is de enige restrictie op de vectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$ dat ze 3-dimensionaal zijn en dat $\vec{v}$ niet de nulvector is.

Interessanter is dat we op een soortgelijke manier platte vlakken in de ruimte kunnen representeren.

De vectoren $\vec{x}$ die de punten op een plat vlak $\mathcal{V}$ aanwijzen laten zich in het algemeen beschrijven met een zogenaamde vectorvoorstelling (of parametervoorstelling), d.w.z. met een recept van de volgende vorm: $\mathcal{V} : \,\vec{x} = \vec{u} + \lambda\cdot\vec{v}+ \mu\cdot\vec{w}$ Hierin zijn de scalairen $\lambda$ en $\mu$ , ook wel in deze context parameters genoemd, vrij te kiezen en is de enige restrictie op de vectoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ en $\vec{w}$ dat ze 3-dimensionaal zijn en dat $\vec{v}$ en $\vec{w}$ geen veelvoud van elkaar zijn.

De vector $\vec{u}$ is een steunvector van het vlak $\mathcal{V}$ ; deze wijst naar een zeker punt op het vlak. De vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ heten richtingsvectoren.

In plaats van $\lambda$ en $\mu$ mag je afwijken van wiskundige conventies en andere letters gebruiken. Wij zullen in opgaven ook $r$ en $s$ gebruiken omdat ze gemakkelijker in te toetsen zijn in SOWISO dan de Griekse letters. Maar let er op dat je dan op papier netjes schrijft, want anders kan je bijvoorbeeld de letter $s$ en het cijfer $5$ misschien niet goed onderscheiden van elkaar (waardoor je dan fouten maakt).

Meetkundig ziet zo'n vectorvoorstelling er als volgt uit:

Net als bij lijnen zijn steun- en richtingsvectoren niet uniek bepaald: een vlak kan op meerdere manieren met steun- en richtingsvectoren beschreven worden. Elke vector met het eindpunt op het vlak $\mathcal{V}$ kan als steunvector gekozen worden. Het vlak $\mathcal{V}$ met vectorvoorstelling $\vec{x}= \vec{u}+\lambda \cdot\vec{v}+\mu \cdot\vec{w}$ kan bijvoorbeeld ook beschreven worden met de vectorvoorstelling $\vec{x}= \vec{u}+\rho \cdot(\vec{v}+\vec{w})+\sigma \cdot(\vec{v}-\vec{w})\tiny.$ Het gaat er om dat verschillende keuzes van richtingsvectoren wel steeds eenzelfde opspansel geeft.

Steunpunt In plaats van steunvector zullen we ook nu weer van steunpunt spreken. Het gaat hier immers om een punt in de ruimte, dat het eindpunt is van de representant van de steunvector die het beginpunt in de oorsprong heeft liggen.

Parallellie Twee vlakken zijn alleen parallel (of identiek) als de richtingsvectoren van de vectorvoorstellingen eenzelfde verzameling opspannen.

Bekijk de volgende voorbeelden om te leren hoe

een vectorvoorstelling te bepalen bij een gegeven vergelijking van een vlak;
een vergelijking van een vlak, van de vorm $a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=d$ , te vinden bij een gegeven vectorvoorstelling;
een vectorvoorstelling van een vlak door drie punten die niet op één lijn liggen te bepalen.

De vergelijking van het vlak $\mathcal{V}$ wordt gegeven door: $-x-3\,y+4\,z=-3$ Geef een vectorvoorstelling van $\mathcal{V}$ met parameters $\lambda$ en $\mu$ .

$\cv{x \\ y \\ z} ={}$ $\cv{3\\0\\0}+\lambda \cdot\cv{-3\\1\\ 0}+\mu\cdot \cv{4\\0\\ 1}$
(er zijn meerdere correcte oplossingen)

Substitueer $y =\lambda$ en $z=\mu$ in de gegeven vergelijking. We kunnen nu $x$ als volgt uitdrukken in $\lambda$ en $\mu$ : $\begin{aligned} -x-3\,\lambda+4\,\mu &= -3\\ & \phantom{abcxyz} \blue{\text{substitutie van }y=\lambda\text{ en }z=\mu}\\[0.1cm] x &= -3\,\lambda+4\,\mu+3 \\ & \phantom{abcxyz} \blue{\text{isolatie van } x}\\[0.1cm] x &=3+\lambda\cdot -3 +\mu\cdot 4 \\ & \phantom{abcxyz}\blue{\text{uitwerking}}\end{aligned}$
De vectoren met eindpunten op het vlak $\mathcal{V}$ zijn dus te schrijven als $\begin{aligned} \cv{x\\y\\z} &= \cv{3+\lambda\cdot -3 +\mu\cdot 4\\ \lambda\\ \mu}\\ \\ &=\cv{3\\0\\0}+\lambda \cdot\cv{-3\\1\\ 0}+\mu\cdot \cv{4\\0\\ 1}\tiny. \end{aligned}$
Er zijn meer correcte vectorvoorstellingen mogelijk: elke vector met eindpunt op het vlak kan bijvoorbeeld als steunvector gebruikt worden en ook kunnen andere richtingsvectoren berekend worden als lineaire combinatie van de zojuist berekende richtingsvectoren.

Nieuw voorbeeld

Plücker coördinaten van een lijn Een andere beschrijving van lijnen in de driedimensionale ruimte is mogelijk en wordt in het vakgebied computer vision gebruikt. Klik op Verdieping om de toegift voor de liefhebber te bekijken.

Punten en vlakken in $\mathbb{R}^3$ kunnen beschreven worden met homogene coördinaten: een punt $(x,y,z)$ kun je met homogene coördinaten $\rv{x,y,z,1}$ beschrijven en een vlakmet vergelijking $a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$ kun je beschrijven met homogene coördinaten $\rv{a,b,c,d}$ . Homogene coördinaten zijn op een scalair veelvoud na uniek. Nu vraag je je misschien af of een homogene beschrijving van lijnen in de driedimensionale ruimte ook mogelijk is. Het antwoord is ja en daarvoor gebruikt men meestal de zogenaamde Plücker coördinaten (ook wel Grassmann coördinaten genoemd). Dit zijn homogene vectoren $\rv{l_1,l_2,\ldots, l_6}$ in $\mathbb{R}^6$ die voldoen aan de relatie $l_1l_6+l_2l_5+l_3l_4=0$ .

Zonder bewijs geven we drie stellingen waarin Plücker coördinaten toegepast worden. In de rest van de cursus zullen we overigens van deze coördinaten geen gebruik maken. Dit is alleen bedoeld als toegift.

De lijn door twee verschillende punten $P$ en $Q$ in $\mathbb{R}^3$ met homogene coördinaten $\rv{p_1,p_2,p_3,p_4}$ en $\rv{q_1,q_2,q_3,q_4}$ heeft de volgende Plücker coördinaten $\rv{l_{12},l_{13},l_{14},l_{32},l_{42}, l_{34}}$ waarbij $l_{ij}$ voor $i,j=1,\ldots 4$ gedefinieerd is door $l_{ij}=p_iq_j-p_jq_i$

De snijlijn van twee verschillende vlakken in $\mathbb{R}^3$ met homogene coördinaten $\rv{u_1,u_2,u_3,u_4}$ en $\rv{v_1,v_2,v_3,v_4}$ heeft de volgende Plücker coördinaten $\rv{l_{12},l_{13},l_{14},l_{32},l_{42}, l_{34}}$ waarbij $l_{ij}$ voor $i,j=1,\ldots 4$ gedefinieerd is door $l_{ij}=u_iv_j-u_jv_i$

Twee lijnen in $\mathbb{R}^3$ met Plücker coördinaten $\rv{l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5}, l_{6}}$ en $\rv{\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4},\lambda_{5}, \lambda_{6}}$ snijden elkaar dan en slechts dan als $l_1\lambda_6+\lambda_1l_6+l_2\lambda_5+\lambda_{2}l_{5}+l_{3}\lambda_{4}+\lambda_{3}l_{4}=0$