Vectoren: Afstand, hoek, inproduct en uitproduct
Lengte en afstand
Lengte in 2D en 3D
De lengte van een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2}\) in het coördinatenvlak \(\mathbb{R}^2\), preciezer gezegd de Euclidische lengte, schrijven we als \(||\vec{v}||\) en kan berekend worden met de stelling van Pythagoras: \[ \Vert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\]
Gaat het om een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2\\ v_3}\) in \(\mathbb{R}^3\), dan leidt bovenstaand lengtebegrip tot \[ \lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^3}\]
Voorbeelden
\[\begin{aligned}\left\lVert\cv{2\\ -3}\right\rVert &=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\ \\ \left\lVert\cv{2\\ 3\\ -z}\right\rVert &=\sqrt{2^2+3^2+(-z)^2} \\ &= \sqrt{4+9+z^2}=\sqrt{13+z^2}\end{aligned}\]
Dit laat zich generaliseren tot de \(n\)-dimensionale coördinatenruimte \(\mathbb{R}^n\):
Lengte De Euclidische lengte van een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots \\ v_n}\) in de \(n\)-dimensionale ruimte \(\mathbb{R}^n\), ook wel de (Euclidische) norm genoemd, schrijven we als \(\lVert\vec{v}\rVert\) en kan berekend worden met \[ \lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+\cdots + v_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}\]
Afstand De afstand tussen twee vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) wordt genoteerd als \(d(\vec{u}, \vec{v})\). Dit is per definitie de lengte van de verschilvector \(\vec{u}-\vec{v}\), en dus \(d(\vec{u}, \vec{v})=\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert\).
Eenheidsvector Een vector \(\vec{e}\) heet een eenheidsvector als zijn norm (d.w.z., zijn lengte) gelijk aan \(1\) is: \(\lVert\vec{e}\rVert=1\). Door een vector \(\vec{v}\) ongelijk aan de nulvector te delen door zijn norm, dat wil zeggen, te vermenigvuldigen met de reciproke waarde van de norm, ontstaat een eenheidsvector \(\vec{e}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\cdot \vec{v}\) met eenzelfde richting als \(\vec{v}\) maar met een lengte gelijk aan \(1\).
Eigenschappen van de Euclidische norm De Euclidische norm op \(\mathbb{R}^n\) heeft de volgende eigenschappen: \[\begin{aligned} \lVert\vec{v}\rVert > 0 & \quad\text{als } \vec{v}\neq\vec{0}\\ \lVert\vec{v}\rVert = 0 & \quad\text{als } \vec{v}=\vec{0}\\ \lVert c\cdot\vec{v}\rVert =|c|\cdot \lVert \vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle }c \in \mathbb{R}\\ \lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert \leq \lVert\vec{u}\rVert+\lVert\vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle } \vec{u}, \vec{v}\in \mathbb{R}^n\end{aligned}\text{.}\]
De genoemde eigenschappen zijn precies wat nodig is om van een vectorruimte \(V\) m.b.v van een norm \(\lVert\;\rVert : V\longrightarrow \mathbb{R}\;\) tot een zogeheten genormeerde vectorruimte te komen.
De laatste ongelijkheid wordt ook wel de driehoeksongelijkheid of Minkowski ongelijkheid genoemd.
Twee vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) in \(\mathbb{R}^2\) of \(\mathbb{R}^3\) staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als \[\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2= \lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^2\tiny.\]
Afstand van punt tot lijn of vlak Laat \(U\) een lijn of een vlak in de ruimte zijn en \(P\) een punt. Er is een uniek punt \(Q\) op \(U\) dat de kortste afstand van alle punten op \(U\) tot \(P\) heeft. Dit punt wordt gekenmerkt door de eigenschap dat de vector \(\vec{PQ}\) loodrecht op de richtingsvector(en) van \(U\) staat. Het punt \(Q\) heet de loodrechte projectie van \(P\) op \(U\).
Projectie op een lijn In onderstaande visualisatie is \(U\) de drager van de vector \(\vec{u}\) en hebben we een projectie van een vector \(\vec{v}\) op de lijn \(U\) getekend. De vector \(\vec{w}\) is een veelvoud van de vector \(\vec{u}\). De lengte van de vector \(\vec{v}-\vec{w}\) is minimaal wanneer deze vector loodrecht op de lijn \(U\) staat. Door het eindpunt van de vector \(\vec{w}\) te verplaatsen langs de lijn kun je dit aanschouwen.
Projectie op een vlak In onderstaande visualisatie hebben we een loodrechte projectie van een vector \(\vec{P}\) op een vlak \(U\) door de oorsprong getekend. De lengte van de vector \(\vec{QP}\) is minimaal onder de lengtes van \(\vec{RP}\) onder alle keuze van vectoren \(\vec{R}\) in het vlak.
De lengte van een vector \( \cv{x \\ y \\ z} \) wordt gegeven door \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \).
In het geval van \(\vec{v} = \cv{4 \\ -5 \\ -3} \) hebben we dus: \[\begin{aligned}
\|\vec{v}\| &= \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-3)^2} \\ \\
&= \sqrt{16 + 25 + 9} \\ \\
&=5\sqrt{2}
\end{aligned}\]