Lengte en afstand

Vectoren: Afstand, hoek, inproduct en uitproduct

Lengte en afstand

Lengte in 2D en 3D

De lengte van een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2}\) in het coördinatenvlak \(\mathbb{R}^2\), preciezer gezegd de Euclidische lengte, schrijven we als \(||\vec{v}||\) en kan berekend worden met de stelling van Pythagoras: \[ \Vert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\]

Gaat het om een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2\\ v_3}\) in \(\mathbb{R}^3\), dan leidt bovenstaand lengtebegrip tot \[ \lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^3}\]

Voorbeelden

\[\begin{aligned}\left\lVert\cv{2\\ -3}\right\rVert &=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\ \\ \left\lVert\cv{2\\ 3\\ -z}\right\rVert &=\sqrt{2^2+3^2+(-z)^2} \\ &= \sqrt{4+9+z^2}=\sqrt{13+z^2}\end{aligned}\]

Dit laat zich generaliseren tot de \(n\)-dimensionale coördinatenruimte \(\mathbb{R}^n\):

Lengte De Euclidische lengte van een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots \\ v_n}\) in de \(n\)-dimensionale ruimte \(\mathbb{R}^n\), ook wel de (Euclidische) norm genoemd, schrijven we als \(\lVert\vec{v}\rVert\) en kan berekend worden met \[ \lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+\cdots + v_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}\]

We schrijven Euclidische lengte omdat in de coördinatenruimte ook andere lengtes gedefinieerd kunnen worden. Bijvoorbeeld kun je in \(\mathbb{R}^n\) ook de 1-norm definiëren als \[||\vec{v}||=|v_1|+\cdots |v_n|\text{.}\] Hierbij wordt de absolute waarde van een reëel getal \(a\) genoteerd met \(|a|\). De 1-norm heeft soortgelijke eigenschappen als de Euclidische norm.

Meer algemeen kunnen we voor een willekeurig natuurlijk getal \(p\) de \(p\)-norm van een vector \(\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots \\ v_n}\) in \(\mathbb{R}^n\) definiëren als \[ \lVert|\vec{v}\rVert|=\sqrt[p]{|v_1|^p+\cdots+ |v_n|^p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |v_i|^p}\] De Euclidische norm is dus in feite de \(2\)-norm.

Afstand De afstand tussen twee vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) wordt genoteerd als \(d(\vec{u}, \vec{v})\). Dit is per definitie de lengte van de verschilvector \(\vec{u}-\vec{v}\), en dus \(d(\vec{u}, \vec{v})=\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert\).

Afstand tussen twee punten De afstand tussen twee punten \(P\) en \(Q\) in vlak of ruimte is gelijk aan de lengte van de vector \(\vec{PQ}\) en komt overeen met de afstand tussen de vectoren \(\vec{OP}\) en \(\vec{OQ}\), waarbij \(O\) de oorsprong is.

Euclidische afstand in coördinaten In coördinaten is de Euclidische afstand tussen de vectoren \(\vec{u}=\cv{u_1\\ \vdots\\ u_n}\) en \(\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots\\ v_n}\) te berekenen via \[d(\vec{u}, \vec{v})=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+\cdots+(u_n-v_n)^2}\tiny.\]

Eenheidsvector Een vector \(\vec{e}\) heet een eenheidsvector als zijn norm (d.w.z., zijn lengte) gelijk aan \(1\) is: \(\lVert\vec{e}\rVert=1\). Door een vector \(\vec{v}\) ongelijk aan de nulvector te delen door zijn norm, dat wil zeggen, te vermenigvuldigen met de reciproke waarde van de norm, ontstaat een eenheidsvector \(\vec{e}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\cdot \vec{v}\) met eenzelfde richting als \(\vec{v}\) maar met een lengte gelijk aan \(1\).

Eigenschappen van de Euclidische norm De Euclidische norm op \(\mathbb{R}^n\) heeft de volgende eigenschappen: \[\begin{aligned} \lVert\vec{v}\rVert > 0 & \quad\text{als } \vec{v}\neq\vec{0}\\ \lVert\vec{v}\rVert = 0 & \quad\text{als } \vec{v}=\vec{0}\\ \lVert c\cdot\vec{v}\rVert =|c|\cdot \lVert \vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle }c \in \mathbb{R}\\ \lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert \leq \lVert\vec{u}\rVert+\lVert\vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle } \vec{u}, \vec{v}\in \mathbb{R}^n\end{aligned}\text{.}\]

De genoemde eigenschappen zijn precies wat nodig is om van een vectorruimte \(V\) m.b.v van een norm \(\lVert\;\rVert : V\longrightarrow \mathbb{R}\;\) tot een zogeheten genormeerde vectorruimte te komen.

De laatste ongelijkheid wordt ook wel de driehoeksongelijkheid of Minkowski ongelijkheid genoemd.

Twee vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) in \(\mathbb{R}^2\) of \(\mathbb{R}^3\) staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als \[\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2= \lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^2\tiny.\]

Dit volgt rechtstreeks uit toepassing van de stelling van Pythagoras op de driehoek met hoekpunten gelijk aan de oorsprong en de twee eindpunten van de vectoren.

Afstand van punt tot lijn of vlak Laat \(U\) een lijn of een vlak in de ruimte zijn en \(P\) een punt. Er is een uniek punt \(Q\) op \(U\) dat de kortste afstand van alle punten op \(U\) tot \(P\) heeft. Dit punt wordt gekenmerkt door de eigenschap dat de vector \(\vec{PQ}\) loodrecht op de richtingsvector(en) van \(U\) staat. Het punt \(Q\) heet de loodrechte projectie van \(P\) op \(U\).

Projectie op een lijn In onderstaande visualisatie is \(U\) de drager van de vector \(\vec{u}\) en hebben we een projectie van een vector \(\vec{v}\) op de lijn \(U\) getekend. De vector \(\vec{w}\) is een veelvoud van de vector \(\vec{u}\). De lengte van de vector \(\vec{v}-\vec{w}\) is minimaal wanneer deze vector loodrecht op de lijn \(U\) staat. Door het eindpunt van de vector \(\vec{w}\) te verplaatsen langs de lijn kun je dit aanschouwen.

GeoGebra

Projectie op een vlak In onderstaande visualisatie hebben we een loodrechte projectie van een vector \(\vec{P}\) op een vlak \(U\) door de oorsprong getekend. De lengte van de vector \(\vec{QP}\) is minimaal onder de lengtes van \(\vec{RP}\) onder alle keuze van vectoren \(\vec{R}\) in het vlak.

GeoGebra

Bereken exact de Euclidische lengte van de vector \( \vec{v} = \cv{1 \\ -2 \\ -7} \).

\(\lVert\vec{v}\rVert = {} \)\(3\sqrt{6}\)

De lengte van een vector \( \cv{x \\ y \\ z} \) wordt gegeven door \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \).
In het geval van \(\vec{v} = \cv{1 \\ -2 \\ -7} \) hebben we dus: \[\begin{aligned}
\|\vec{v}\| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-7)^2} \\ \\
&= \sqrt{1 + 4 + 49} \\ \\
&=3\sqrt{6}
\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld