Lengte en afstand

Vectoren: Afstand, hoek, inproduct en uitproduct

Lengte en afstand

Lengte in 2D en 3D

De lengte van een vector $\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2}$ in het coördinatenvlak $\mathbb{R}^2$ , preciezer gezegd de Euclidische lengte, schrijven we als $||\vec{v}||$ en kan berekend worden met de stelling van Pythagoras:

$\Vert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Gaat het om een vector $\vec{v}=\cv{v_1\\ v_2\\ v_3}$ in $\mathbb{R}^3$ , dan leidt bovenstaand lengtebegrip tot

$\lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^3}$

Voorbeelden

$\begin{aligned}\left\lVert\cv{2\\ -3}\right\rVert &=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\ \\ \left\lVert\cv{2\\ 3\\ -z}\right\rVert &=\sqrt{2^2+3^2+(-z)^2} \\ &= \sqrt{4+9+z^2}=\sqrt{13+z^2}\end{aligned}$

Dit laat zich generaliseren tot de $n$ -dimensionale coördinatenruimte $\mathbb{R}^n$ :

De Euclidische lengte van een vector $\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots \\ v_n}$ in de $n$ -dimensionale ruimte $\mathbb{R}^n$ , ook wel de (Euclidische) norm genoemd, schrijven we als $\lVert\vec{v}\rVert$ en kan berekend worden met

$\lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{v_1^2+\cdots + v_n^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}$

We schrijven Euclidische lengte omdat in de coördinatenruimte ook andere lengtes gedefinieerd kunnen worden. Bijvoorbeeld kun je in $\mathbb{R}^n$ ook de 1-norm definiëren als

$||\vec{v}||=|v_1|+\cdots |v_n|\text{.}$ Hierbij wordt de absolute waarde van een reëel getal $a$ genoteerd met $|a|$ . De 1-norm heeft soortgelijke eigenschappen als de Euclidische norm.

Meer algemeen kunnen we voor een willekeurig natuurlijk getal $p$ de $p$ -norm van een vector $\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots \\ v_n}$ in $\mathbb{R}^n$ definiëren als

$\lVert|\vec{v}\rVert|=\sqrt[p]{|v_1|^p+\cdots+ |v_n|^p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |v_i|^p}$ De Euclidische norm is dus in feite de $2$ -norm.

De afstand tussen twee vectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$ wordt genoteerd als $d(\vec{u}, \vec{v})$ . Dit is per definitie de lengte van de verschilvector $\vec{u}-\vec{v}$ , en dus $d(\vec{u}, \vec{v})=\lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert$ .

De afstand tussen twee punten $P$ en $Q$ in vlak of ruimte is gelijk aan de lengte van de vector $\vec{PQ}$ en komt overeen met de afstand tussen de vectoren $\vec{OP}$ en $\vec{OQ}$ , waarbij $O$ de oorsprong is.

In coördinaten is de Euclidische afstand tussen de vectoren $\vec{u}=\cv{u_1\\ \vdots\\ u_n}$ en $\vec{v}=\cv{v_1\\ \vdots\\ v_n}$ te berekenen via

$d(\vec{u}, \vec{v})=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+\cdots+(u_n-v_n)^2}\tiny.$

Een vector $\vec{e}$ heet een eenheidsvector als zijn norm (d.w.z., zijn lengte) gelijk aan $1$ is: $\lVert\vec{e}\rVert=1$ . Door een vector $\vec{v}$ ongelijk aan de nulvector te delen door zijn norm, dat wil zeggen, te vermenigvuldigen met de reciproke waarde van de norm, ontstaat een eenheidsvector $\vec{e}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\cdot \vec{v}$ met eenzelfde richting als $\vec{v}$ maar met een lengte gelijk aan $1$ .

De Euclidische norm op $\mathbb{R}^n$ heeft de volgende eigenschappen:

$\begin{aligned} \lVert\vec{v}\rVert > 0 & \quad\text{als } \vec{v}\neq\vec{0}\\ \lVert\vec{v}\rVert = 0 & \quad\text{als } \vec{v}=\vec{0}\\ \lVert c\cdot\vec{v}\rVert =|c|\cdot \lVert \vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle }c \in \mathbb{R}\\ \lVert\vec{u}+\vec{v}\rVert \leq \lVert\vec{u}\rVert+\lVert\vec{v}\rVert & \quad\text{voor alle } \vec{u}, \vec{v}\in \mathbb{R}^n\end{aligned}\text{.}$

De genoemde eigenschappen zijn precies wat nodig is om van een vectorruimte $V$ m.b.v van een norm $\lVert\;\rVert : V\longrightarrow \mathbb{R}\;$ tot een zogeheten genormeerde vectorruimte te komen.

De laatste ongelijkheid wordt ook wel de driehoeksongelijkheid of Minkowski ongelijkheid genoemd.

Twee vectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$ in $\mathbb{R}^2$ of $\mathbb{R}^3$ staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als

$\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2= \lVert\vec{u}-\vec{v}\rVert^2\tiny.$

Dit volgt rechtstreeks uit toepassing van de stelling van Pythagoras op de driehoek met hoekpunten gelijk aan de oorsprong en de twee eindpunten van de vectoren.

Laat $U$ een lijn of een vlak in de ruimte zijn en $P$ een punt. Er is een uniek punt $Q$ op $U$ dat de kortste afstand van alle punten op $U$ tot $P$ heeft. Dit punt wordt gekenmerkt door de eigenschap dat de vector $\vec{PQ}$ loodrecht op de richtingsvector(en) van $U$ staat. Het punt $Q$ heet de loodrechte projectie van $P$ op $U$ .

In onderstaande visualisatie is $U$ de drager van de vector $\vec{u}$ en hebben we een projectie van een vector $\vec{v}$ op de lijn $U$ getekend. De vector $\vec{w}$ is een veelvoud van de vector $\vec{u}$ . De lengte van de vector $\vec{v}-\vec{w}$ is minimaal wanneer deze vector loodrecht op de lijn $U$ staat. Door het eindpunt van de vector $\vec{w}$ te verplaatsen langs de lijn kun je dit aanschouwen.

GeoGebra

In onderstaande visualisatie hebben we een loodrechte projectie van een vector $\vec{P}$ op een vlak $U$ door de oorsprong getekend. De lengte van de vector $\vec{QP}$ is minimaal onder de lengtes van $\vec{RP}$ onder alle keuze van vectoren $\vec{R}$ in het vlak.

GeoGebra

Bereken exact de Euclidische lengte van de vector $\vec{v} = \cv{5 \\ 5 \\ 0}$ .

$\lVert\vec{v}\rVert = {}$ $5\sqrt{2}$

De lengte van een vector $\cv{x \\ y \\ z}$ wordt gegeven door $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .
In het geval van $\vec{v} = \cv{5 \\ 5 \\ 0}$ hebben we dus:

$\begin{aligned} \|\vec{v}\| &= \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} \\ \\ &= \sqrt{25 + 25 + 0} \\ \\ &=5\sqrt{2} \end{aligned}$

Nieuw voorbeeld