Normaalvector van een lijn in ℝ²

Vectoren: Afstand, hoek, inproduct en uitproduct

Normaalvector van een lijn in ℝ²

Orthogonaliteit van vectoren is een prima middel om een lijn in \(\mathbb{R}^2\) of een vlak in \(\mathbb{R}^3\) te beschrijven.

Normaalvector van een lijn Bij vaste vectoren \(\vec{n}=\cv{n_1\\n_2}\) en \(\vec{a}=\cv{a_1\\a_2}\) met \(\vec{a}\neq\vec{0}\) stelt de vergelijking \[\ell : \, \vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{x}= \vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}\] of, uitgewerkt in coördinaten, \[n_1x_1+n_2x_2=n_1a_1+n_2a_2\] een rechte lijn \(\ell\) voor. Deze lijn gaat door het eindpunt van de vector \(\vec{a}\). We noemen dit een normaalvergelijking van de lijn.

De reden voor deze naamgeving is dat we deze vergelijking ook kunnen schrijven als \[\vec{n}\boldsymbol{\cdot}\left(\vec{x}-\vec{a}\right)=0\] De vectoren \(\vec{n}\) en \(\vec{x}-\vec{a}\) staan dus loodrecht op elkaar. De vector \(\vec{x}-\vec{a}\) is de pijl van het eindpunt van \(\vec{a}\) naar het eindpunt \(\vec{x}\) en is voor elke \(\vec{x}\neq\vec{a}\) een pijl die langs \(\ell\) valt. Met andere woorden, de vector \(\vec{n}\) staat loodrecht op de lijn \(\ell\) en wordt daarom een normaalvector van de lijn genoemd.

Een normaalvector is uniek op een scalair veelvoud na.

Notatieconventie en nomenclatuur Meestal gebruiken we in de vlakke meetkunde voor algemene punten niet de coördinaten \((x_1,x_2)\), maar schrijven we \((x,y)\). De algemene vorm van een vergelijking van een lijn \(\ell\) is dan \(ax+by=c\), waarbij \(\vec{n}=\cv{a\\b}\) een normaalvector van deze lijn is. Ook korten we 'normaalvergelijking' meestal af tot 'vergelijking'. Het onderscheid met een vectorvoorstelling van een lijn is al helder genoeg in de naamgeving. Soms gebruikt men de term vectorvergelijking van een lijn i.p.v. vectorvoorstelling, maar ook dan is de verlengde naam vectorvergelijking al duidelijk genoeg om het onderscheid met een vergelijking te herkennen.

De lijn \( \ell\) gaat door de punten \(\cv{-4\\-4}\) en \(\cv{-5 \\ -2}\).
Geef een vergelijking van \(\ell\), dat wil zeggen, geef een vergelijking van de vorm \[a\, x + b\, y = c\] waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) constanten zijn.

De vergelijking van \(\ell\) is \(2 x + y = -12\).
(Veelvouden van deze vergelijking zijn ook correct).

Een vectorvoorstelling van \( \ell \) is \[\cv{x\\y} = \cv{-4\\-4} + \lambda \cv{1 \\ -2}\tiny.\] De vector \(\cv{ 2\\1 }\) staat loodrecht op \(\cv{1 \\ -2}\) want hun inproduct is gelijk aan nul. Deze vector is te vinden door de twee componenten van de oorspronkelijke vector om te wisselen en één hiervan daarna van teken te veranderen. We kunnen deze vector als normaalvector van de lijn \(\ell\) gebruiken.

Hieruit leiden we af:\[ \begin{aligned}
\cv{x\\y} &= \cv{-4\\-4} + \lambda \cv{1 \\ -2}\\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{vectorvoorstelling van }\ell}\\[0.1cm]
\cv{x\\y} \boldsymbol{\cdot} \cv{ 2\\1 } &= \cv{-4\\-4}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 2\\1 } + \lambda \cv{1 \\ -2}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 2\\1 } \\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{links en rechts het inproduct met }\cv{ 2\\1 }}\\
\cv{x\\y} \boldsymbol{\cdot} \cv{2\\1 } &= \cv{-4\\-4}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 2\\1 } +\lambda\cdot 0\\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging met loodrechte vectoren}}\\[0.1cm]
2 x + y &= -12\\
&\phantom{abcdwxyz}{\blue{\text{berekening van inproducten}}}

\end{aligned}\] Een vergelijking zoals gevraagd is dus \[2 x + y = -12\tiny.\]

Nieuw voorbeeld

Formules voor afstand Twee lijnen \(\ell\) en \(m\) in \(\mathbb{R}^2\) met dezelfde normaalvector \(\vec{n}\) zijn parallelle of samenvallende lijnen. Als \(\vec{a}\) een vector is met het eindpunt op \(\ell\) en \(\vec{b}\) een vector is met het eindpunt op \(m\), dan kan de de afstand \(d(\ell,m)\) tussen de twee lijnen berekend worden met de formule \[d(\ell,m)=\frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert}\] Dezelfde formule geeft ook de kortste afstand van het eindpunt van \(\vec{b}\) tot de lijn \(\ell\): \[d(\ell,\vec{b})=\frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert}\]

Het bewijs is betrekkelijk eenvoudig: \(\left(\frac{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}}{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{n}}\right) \vec{n}\) is de projectie van \(\vec{a}\) op de drager van \(\vec{n}\). Evenzo is \(\left(\frac{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}}{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{n}}\right) \vec{n}\) de projectie van \(\vec{b}\) op de drager van \(\vec{n}\). De afstand tussen de eindpunten van deze twee vectoren is dan gelijk de afstand \(d(\ell,m)\) tussen de twee lijnen \(\ell\) en \(m\). Deze afstand is de lengte van de verschilvector van de twee projecties en dus gelijk aan \[\begin{aligned} d(\ell,m) &=\left\lVert \left(\frac{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}}{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{n}}\right) \vec{n}\right\rVert \\ \\ &= \left| \frac{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}}{\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{n}}\right|\cdot \lVert\vec{n}\rVert \\ \\ & \frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert^2}\cdot \lVert\vec{n}\rVert \\ \\&= \frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert}\end{aligned}\] Omdat de projectie op de drager van \(\vec{n}\) niet afhangt van de keuze van \(\vec{b}\) op de lijn \(m\) mogen we de formule ook gebruiken voor een willekeurig gekozen punt. In feite zeggen we dan dat de afstand van een punt \(P\) tot een lijn \(\ell\) per definitie gelijk is aan de afstand tussen de lijn \(\ell\) en de lijn die parallel aan \(\ell\) is en door \(P\) gaat.