Vectoren: Afstand, hoek, inproduct en uitproduct
Normaalvector van een lijn in ℝ2
Orthogonaliteit van vectoren is een prima middel om een lijn in \(\mathbb{R}^2\) of een vlak in \(\mathbb{R}^3\) te beschrijven.
Normaalvector van een lijn Bij vaste vectoren \(\vec{n}=\cv{n_1\\n_2}\) en \(\vec{a}=\cv{a_1\\a_2}\) met \(\vec{a}\neq\vec{0}\) stelt de vergelijking \[\ell : \, \vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{x}= \vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}\] of, uitgewerkt in coördinaten, \[n_1x_1+n_2x_2=n_1a_1+n_2a_2\] een rechte lijn \(\ell\) voor. Deze lijn gaat door het eindpunt van de vector \(\vec{a}\). We noemen dit een normaalvergelijking van de lijn.
De reden voor deze naamgeving is dat we deze vergelijking ook kunnen schrijven als \[\vec{n}\boldsymbol{\cdot}\left(\vec{x}-\vec{a}\right)=0\] De vectoren \(\vec{n}\) en \(\vec{x}-\vec{a}\) staan dus loodrecht op elkaar. De vector \(\vec{x}-\vec{a}\) is de pijl van het eindpunt van \(\vec{a}\) naar het eindpunt \(\vec{x}\) en is voor elke \(\vec{x}\neq\vec{a}\) een pijl die langs \(\ell\) valt. Met andere woorden, de vector \(\vec{n}\) staat loodrecht op de lijn \(\ell\) en wordt daarom een normaalvector van de lijn genoemd.
Een normaalvector is uniek op een scalair veelvoud na.
(Veelvouden van deze vergelijking zijn ook correct).
Een vectorvoorstelling van \( \ell \) is \[\cv{x\\y} = \cv{-2\\-1} + \lambda \cv{2 \\ -6}\tiny.\] De vector \(\cv{ 6\\2 }\) staat loodrecht op \(\cv{2 \\ -6}\) want hun inproduct is gelijk aan nul. Deze vector is te vinden door de twee componenten van de oorspronkelijke vector om te wisselen en één hiervan daarna van teken te veranderen. We kunnen deze vector als normaalvector van de lijn \(\ell\) gebruiken.
Hieruit leiden we af:\[ \begin{aligned}
\cv{x\\y} &= \cv{-2\\-1} + \lambda \cv{2 \\ -6}\\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{vectorvoorstelling van }\ell}\\[0.1cm]
\cv{x\\y} \boldsymbol{\cdot} \cv{ 6\\2 } &= \cv{-2\\-1}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 6\\2 } + \lambda \cv{2 \\ -6}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 6\\2 } \\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{links en rechts het inproduct met }\cv{ 6\\2 }}\\
\cv{x\\y} \boldsymbol{\cdot} \cv{6\\2 } &= \cv{-2\\-1}\boldsymbol{\cdot} \cv{ 6\\2 } +\lambda\cdot 0\\
&\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging met loodrechte vectoren}}\\[0.1cm]
6 x + 2 y &= -14\\
&\phantom{abcdwxyz}{\blue{\text{berekening van inproducten}}}
\\ 3 x + y &= -7\\ &\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}
\end{aligned}\] Een vergelijking zoals gevraagd is dus \[3 x + y = -7\tiny.\]
Formules voor afstand Twee lijnen \(\ell\) en \(m\) in \(\mathbb{R}^2\) met dezelfde normaalvector \(\vec{n}\) zijn parallelle of samenvallende lijnen. Als \(\vec{a}\) een vector is met het eindpunt op \(\ell\) en \(\vec{b}\) een vector is met het eindpunt op \(m\), dan kan de de afstand \(d(\ell,m)\) tussen de twee lijnen berekend worden met de formule \[d(\ell,m)=\frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert}\] Dezelfde formule geeft ook de kortste afstand van het eindpunt van \(\vec{b}\) tot de lijn \(\ell\): \[d(\ell,\vec{b})=\frac{\left|\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{a}-\vec{n}\boldsymbol{\cdot} \vec{b}\right|}{\lVert\vec{n}\rVert}\]
