De begrippen vectorruimte en lineaire combinatie van vectoren

Vectoren: De begrippen vector en vectorruimte

De begrippen vectorruimte en lineaire combinatie van vectoren

De verzamelingen \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\), tezamen met de componentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging, zijn voorbeelden van wat in de wiskunde een vectorruimte heet. Ze hebben namelijk de volgende eigenschappen van een vectorruimte.

Definitie van een vectorruimte Een niet-lege verzameling \(V\) voorzien van een optelling en scalaire vermenigvuldiging heet een vectorruimte als de volgende eigenschappen gelden voor alle scalairen \(\lambda\) en \(\mu\), en voor alle \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\):

Commutativiteit: \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)
Associativiteit: \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)
Nulvector: er is een element \(\vec{0}\) in \(V\) zodanig dat \(\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}\)
Tegengestelde vector: bij elke \(v\in V\) is er een \(-\vec{v}\) zodat \(\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}\)
Scalair 1: \(1\cdot \vec{v}=\vec{v}\)
Associativiteit van scalaire vermenigvuldiging: \(\lambda\cdot(\mu\cdot \vec{v})=(\lambda\cdot\mu)\cdot \vec{v}\)
Distributiviteit van scalaire vermenigvuldiging over optelling van vectoren: \(\lambda\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda\cdot\vec{u}+\lambda\cdot\vec{v}\)
Distributiviteit van scalaire vermenigvuldiging over optelling van scalairen: \((\lambda+\mu)\cdot \vec{v}=\lambda\cdot\vec{v}+\mu\cdot\vec{v}\)

Alle eigenschappen zijn voor \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\) te bewijzen door het uitschrijven van de uitdrukkingen in componenten en het toepassen van de componentsgewijze definities van optelling en scalaire vermenigvuldiging.

De getallenverzameling mag in plaats van de reële getallen ook de complexe getallen zijn. Optelling en scalaire vermenigvuldiging in \(\mathbb{C}^2\) en \(\mathbb{C}^3\) kan componentsgewijs gedefinieerd worden; we hoeven enkel te bedenken dat de componenten van een vector of een scalair nu een complex getal zijn.

Een niet-triviaal voorbeeld van een vectorruimte is de verzameling van kwadratische functies met de gebruikelijke optelling van functies en vermenigvuldiging van een functie met een reëel getal. Hierbij moet je constante functies en lineaire functies wel beschouwen als kwadratische functies met bepaalde coëfficënten gelijk aan \(0\).

Meer algemeen kunnen we de verzameling \(\mathcal{P}_n\) van veeltermen in één veranderlijke, zeg \(x\), en van graad ten hoogste gelijk \(n\) beschouwen als vectorruimte met de gebruikelijke optelling van functies en vermenigvuldiging van een functie met een reëel getal. Dit laatste wil zeggen dat we scalaire vermenigvuldiging en vectoroptelling als volgt definiëren: laat \[ \begin{array}{rcl}
a(x) &=&a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1 x +a_0 \\
b(x) &=& b_n x^n +b_{n-1}x^{n-1} +\cdots +b_1 x +b_0
\end{array} \] twee veeltermen in \(\mathcal{P}_n\) zijn (merk op dat \(a_n\) en/of \(b_n\) gelijk aan \(0\) mogen wezen) en laat \(\lambda\) een reëel of complex getal zijn, dan definiëren we \[\begin{array}{rl}
a(x)+b (x)&= (a_n +b_n )x^n +(a_{n-1} +b_{n-1})x^{n-1} +\cdots +(a_1 +b_1 )x +(a_0 +b_0 ) \\
\lambda \cdot a(x) &=\lambda\cdot a_n x^n +\lambda\cdot a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +\lambda\cdot a_1 x +\lambda\cdot a_0
\end{array} \]

Ook de verzameling van alle veeltermen in één veranderlijke kunnen we zo als vectorruimte beschouwen. Bij elk tweetal veeltermen kunnen we ze gelijke graad geven door voldoende coëfficiënten gelijk aan nul te stellen.

Bovengenoemde eigenschappen maken het rekenwerk in vectorruimten ook simpel: het maakt volgens de commutativiteit en associativiteit van optelling van vectoren bijvoorbeeld niet uit in welke volgorde optelling gebeurt. Scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren mag je naar eigen inzicht combineren.

Lineaire combinatie van vectoren

Een vector \(\vec{v}\) is een lineaire combinatie van vectoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2, \ldots , \vec{v}_n\) als er scalairen \(\lambda_1\), \(\lambda_2, \ldots , \lambda_n\) zijn zodanig dat \[\vec{v}=\lambda_1 \cdot\vec{v}_1 + \lambda_2\cdot \vec{v}_2 + \cdots + \lambda_n\cdot \vec{v}_n\] De scalairen \(\lambda_1\), \(\lambda_2, \ldots , \lambda_n\) heten de coëfficiënten van de lineaire combinatie. We zeggen ook wel dat de vector \(\vec{v}\) lineair afhankelijk is van de vectoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2, \ldots , \vec{v}_n\). Een lineaire combinatie noemen we niet-triviaal als minstens één van de coëfficiënten ongelijk aan nul is. De vectoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2, \ldots , \vec{v}_n\) zijn lineair onafhankelijk als er geen niet-triviale lineaire combinatie mee te maken is gelijk aan de nulvector.

Met de term 'lineaire combinatie' geven we eigenlijk een naam aan vectoren die we kunnen bouwen uit een gegeven stel vectoren met behulp van de twee operaties vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging.

Bereken, uitgaande van de vectoren \(\vec{u} =\cv{-9\\ 4}\) en \(\vec{v} =\cv{8\\ -1}\), de vector \[3\,\vec{u}+5\,\vec{v}\tiny.\]

\(3\,\vec{u}+5\,\vec{v} = 3\cv{-9\\ 4}+5\cv{8\\ -1}={}\)\(\cv{13\\ 7}\)

Immers: \[\begin{aligned}
3\,\vec{u}+5\,\vec{v} &= 3\cv{-9\\ 4}+5\cv{8\\ -1}
&\blue{\text{definities }\vec{u}\text{ en }\vec{v} } \\[0.25cm]
&=\cv{3 \cdot -9 \\3 \cdot 4} + \cv{5 \cdot 8 \\ 5 \cdot -1}
&\blue{\text{scalaire vermenigvuldiging}} \\[0.25cm]
&=\cv{-27\\ 12} + \cv{40\\-5}
&\blue{\text{vereenvoudiging}} \\[0.25cm]
&=\cv{-27 + 40\\12 -5}
&\blue{\text{componentsgewijze optelling}} \\[0.25cm]
&= \cv{13\\ 7} &\blue{\text{eindresultaat}}
\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

Lineair opspansel, (on)afhankelijkheid en dimensie Laat \(n\) een natuurlijk getal zijn en laat \(\vec{v}_1 ,\ldots ,\vec{v}_n\) een \(n\)-tal vectoren in een vectorruimte zijn.

De verzameling van alle lineaire combinaties van \(\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n\) heet de door de vectoren \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\) opgespannen ruimte of hun (lineair) opspansel, en wordt genoteerd als \[\sbspmatrix{ \vec{v}_1 , \ldots, \vec{v}_n}\tiny.\]

Bij wijze van afspraak leggen we vast dat het lineaire opspansel van niets (de lege verzameling) gelijk is aan het opspansel van de nulvector: \(\sbspmatrix{}=\sbspmatrix{\vec{0}}=\{\vec{0}\}\).

Als \(\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}\) de kleinste verzameling van vectoren is die de vectorruimte \(\sbspmatrix{ \vec{v}_1 , \ldots, \vec{v}_n}\) opspant, met andere woorden, als de vectoren \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\) lineair onafhankelijk zijn, dan heet \(\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}\) een basis van het opspansel en is \(n\) de dimensie van de opgespannen vectorruimte.

De nulvector behoort altijd tot het lineaire opspansel van vectoren: het is de lineaire combinatie van \(\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n\) waarbij alle coëfficiënten \(\lambda_i\) gelijk aan \(0\) zijn.

Het opspansel van een enkele vector \(\vec{v}\) in \(\mathbb{R}^2\) of \(\mathbb{R}^3\) is een rechte lijn door de oorsprong.

Het opspansel van twee vectoren \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) in \(\mathbb{R}^3\) die geen scalair veelvoud van elkaar zijn, is een vlak door de oorsprong.

Voorbeeld Veeltermen vormen een vectorruimte. Het lineaire opspansel van de machten \(1, x, x^2\) en \(x^3\) is gelijk aan de verzameling \(\mathcal{P}_3\) van alle veeltermen van graad 3 of kleiner. Immers een willekeurig gekozen veelterm \(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) is te schrijven als \(a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0\cdot 1\) en dat betekent dat elke veelterm van graad 3 of kleiner tot het opspansel \(\sbspmatrix{x^3,x^2,x,1}\) behoort. De verzameling \(\{1,x,x^2,x^3\}\) is een basis van de vectorruimte \(\mathcal{P}_3\). De dimensie van \(\mathcal{P}_3\) is gelijk aan \(4\).