Matrixrekening: Matrices
De geadjungeerde matrix en de regel van Cramer
Stel dat \(A\) een (\(n\times n\))-matrix is. Voor elke index \((i,j)\) kun je de (\((n-1)\times(n-1)\))-matrix \(M_{ij}\) maken door in \(A\) de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom te schrappen. De determinant \(\det(M_{ij})\) heet de (\(i,j\))-minor van het element \(a_{ij}\) van \(A\). De cofactor van het element \(a_{ij}\), genoteerd met \(A_{ij}\), is de (\(i,j\))-minor voorzien een teken: \[A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det(M_{ij})\] Als we deze cofactoren in een matrix samenbrengen en van deze matrix de getransponeerde nemen, dan ontstaat de geadjungeeerde matrix \[\mathrm{adj}(A)=\matrix{A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}}\]
\(\mathrm{adj}(A)={}\)\(\matrix{-2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ }\)
We bekijken de matrix \(A=\matrix{2 & 5 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ }\). De cofactoren van de negen elementen van \(A\) zijn: \[\small\begin{array}{rclcrrclcrrclcr}
A_{11}&=&{+}\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix}&=&-2,
&A_{12}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}&=&1,
&A_{13}&=&{+}\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}&=&0\\
A_{21}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}&=&3,
&A_{22}&=&{+}\begin{vmatrix}2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}&=&-2,
&A_{23}&=&{-}\begin{vmatrix}2 & 5 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}&=&-2\\
A_{31}&=&{+}\begin{vmatrix}5 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}&=&-1,
&A_{32}&=&{-}\begin{vmatrix}2 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}&=&0,
&A_{33}&=&{+}\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}&=&1
\end{array} \]
We nemen de getransformeerde van de matrix van cofactoren om de geadjungeerde matrix \[\mathrm{adj}(A)=\matrix{-2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ }\] te verkrijgen
We kunnen de determinant van de matrix \(A\) berekenen via Laplace-expansie; bijvoorbeeld \[\begin{aligned} |A| & =a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13} \\[0.25cm] &= 2\times -2 +5\times 1-2\times 0\\[0.25cm] &= 1\end{aligned}\] Merk op dat \[\begin{aligned}A\cdot \mathrm{adj}(A)&=\matrix{2 & 5 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ }\cdot \matrix{-2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ }\\[0.25cm] &= \matrix{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}\\[0.25cm] &=1 \matrix{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}\\[0.25cm] &=|A|\,I\end{aligned}\] waarbij \(I\) de \((3\times 3)\) identiteitsmatrix is.
Dus: \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\mathrm{adj}(A)=\matrix{-2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ }\]
Regel van Cramer Stel dat we een stelsel hebben met \(n\) lineaire vergelijkingen in \(n\) onbekenden: \[\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{n1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{n2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{nn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_n\end{array}\right.\] Dit kan ook geschreven worden m.b.v. matrix-vector vermenigvuldiging als \[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\] of kortweg als \[A\vec{x}=\vec{b}\] met \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\] We veronderstellen dat de determinant van \(A\) , genoteerd met \(D=|A|\), ongelijk aan nul is zodat de matrix \(A\) inverteerbaar is en er precies één, oplossing van het stelsel is, namelijk \[\vec{x}=A^{-1}\vec{b}=\frac{1}{D}\mathrm{adj}(A)\,\vec{b}\] Stel nu dat \(A_j(\vec{b})\) de matrix is verkregen uit \(A\) door de \(j\)-de kolom van \(A\) te vervangen door de kolomvector \(\vec{b}\). Stel dat \(D_j\) de determinant is van \(A_j(\vec{b})\), d.w.z., \(D_j=|A_j(\vec{b})|\). Dan wordt de unieke oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen gegeven door \[x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D}, \quad\ldots\quad x_n=\frac{D_n}{D}\]
De bijpassende matrix \(A\) is gelijk aan \[\left(\begin{array}{cc}
4 &2 \\
-3 &1
\end{array}\right)\]
Dan geldt voor de determinant \(D\) van \(A\): \[D=(4)\times (1) - (2)\times (-3)=10\]
Vervang de eerste kolom in \(A\) door \(\cv{3\\1}\): \(A_1\left(\cv{3\\1}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3 &2 \\ 1 &1
\end{array}\right)\)
Dus: \(D_1=\left|\begin{array}{cc} 3 &2 \\ 3 &1
\end{array}\right|=(3)\times (1) - (2)\times (1)=1\)
Vervang de tweede kolom in \(A\) door \(\cv{3\\1}\): \(A_2\left(\cv{3\\1}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 &3 \\ -3 &1
\end{array}\right)\)
Dus: \(D_2=\left|\begin{array}{cc} 4 &3 \\ -3 &1
\end{array}\right|=(4)\times (1) - (3)\times (-3)=13\)
Volgens de regel van Cramer: \[x=\frac{D_1}{D}=\frac{1}{10}\quad\text{en}\quad y=\frac{D_2}{D}=\frac{13}{10}\] De oplossing is dus \[\cv{x\\y} = \cv{\frac{1}{10}\\\frac{13}{10}}\]
