De geadjungeerde matrix en de regel van Cramer

Matrixrekening: Matrices

De geadjungeerde matrix en de regel van Cramer

Stel dat $A$ een ( $n\times n$ )-matrix is. Voor elke index $(i,j)$ kun je de ( $(n-1)\times(n-1)$ )-matrix $M_{ij}$ maken door in $A$ de $i$ -de rij en $j$ -de kolom te schrappen. De determinant $\det(M_{ij})$ heet de ( $i,j$ )-minor van het element $a_{ij}$ van $A$ . De cofactor van het element $a_{ij}$ , genoteerd met $A_{ij}$ , is de ( $i,j$ )-minor voorzien een teken: $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det(M_{ij})$ Als we deze cofactoren in een matrix samenbrengen en van deze matrix de getransponeerde nemen, dan ontstaat de geadjungeeerde matrix $\mathrm{adj}(A)=\matrix{A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}}$

Bereken de geadjungeerde van de matrix $A=\matrix{-1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ }$ .

$\mathrm{adj}(A)={}$ $\matrix{0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ }$

We bekijken de matrix $A=\matrix{-1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ }$ . De cofactoren van de negen elementen van $A$ zijn: $\small\begin{array}{rclcrrclcrrclcr} A_{11}&=&{+}\begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}&=&0, &A_{12}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}&=&0, &A_{13}&=&{+}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}&=&1\\ A_{21}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}&=&-3, &A_{22}&=&{+}\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}&=&-2, &A_{23}&=&{-}\begin{vmatrix}-1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}&=&-1\\ A_{31}&=&{+}\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}&=&-1, &A_{32}&=&{-}\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}&=&-1, &A_{33}&=&{+}\begin{vmatrix}-1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}&=&1 \end{array}$
We nemen de getransformeerde van de matrix van cofactoren om de geadjungeerde matrix $\mathrm{adj}(A)=\matrix{0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ }$ te verkrijgen

We kunnen de determinant van de matrix $A$ berekenen via Laplace-expansie; bijvoorbeeld $\begin{aligned} |A| & =a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13} \\[0.25cm] &= -1\times 0 +2\times 0-1\times 1\\[0.25cm] &= -1\end{aligned}$ Merk op dat $\begin{aligned}A\cdot \mathrm{adj}(A)&=\matrix{-1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ }\cdot \matrix{0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ }\\[0.25cm] &= \matrix{ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1}\\[0.25cm] &=-1 \matrix{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}\\[0.25cm] &=|A|\,I\end{aligned}$ waarbij $I$ de $(3\times 3)$ identiteitsmatrix is.

Dus: $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\mathrm{adj}(A)=\matrix{0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ }$

Nieuw voorbeeld

Stel dat we een stelsel hebben met $n$ lineaire vergelijkingen in $n$ onbekenden: $\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{n1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{n2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{nn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_n\end{array}\right.$ Dit kan ook geschreven worden m.b.v. matrix-vector vermenigvuldiging als $\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}$ of kortweg als $A\vec{x}=\vec{b}$ met $A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}$ We veronderstellen dat de determinant van $A$ , genoteerd met $D=|A|$ , ongelijk aan nul is zodat de matrix $A$ inverteerbaar is en er precies één, oplossing van het stelsel is, namelijk $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}=\frac{1}{D}\mathrm{adj}(A)\,\vec{b}$ Stel nu dat $A_j(\vec{b})$ de matrix is verkregen uit $A$ door de $j$ -de kolom van $A$ te vervangen door de kolomvector $\vec{b}$ . Stel dat $D_j$ de determinant is van $A_j(\vec{b})$ , d.w.z., $D_j=|A_j(\vec{b})|$ . Dan wordt de unieke oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen gegeven door $x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D}, \quad\ldots\quad x_n=\frac{D_n}{D}$

Stel dat $I$ de $(n\times n)$ -identiteitsmatrix is met kolomvectoren $\vec{e_1}, \dots, \vec{e_n}$ . Als $A\vec{x}=\vec{b}$ , dan $A\cdot I_j(\vec{x})= A\cdot (\vec{e_1}, \ldots, \vec{e_{j_1}}, \vec{x}, \vec{e_{j+1}}, \ldots, \vec{e_n}) = (A\vec{e_1}, \ldots, A\vec{e_{j_1}}, A\vec{x}, A\vec{e_{j+1}}, \ldots, A\vec{e_n})=A_j(\vec{b})$ Maar dan: $\det(A)\cdot \det(I_j\vec{x}))=\det(A_j(\vec{b}))$ Omdat $\det(I_j)(\vec{x})= \begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & x_1 & \cdots 0 & 0\\ 0 & 1 & \cdots & x_2 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_j & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & \cdots & 1 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & x_{n} & \cdots & 0 & 1 \end{vmatrix} = x_j$ Dus: $x_j = \frac{D_j}{D}\qquad\text{voor alle }j$ \]

Bepaal de oplossing $\cv{x\\y}$ voor het onderstaande stelsel van vergelijkingen via de regel van Cramer : $\lineqs{-4 x -2 y &=& 4\cr -4 x \phantom{+22y} &=& -1\cr}$

$\cv{x\\y} = {}$ $\cv{\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}}$

De bijpassende matrix $A$ is gelijk aan $\left(\begin{array}{cc} -4 &-2 \\ -4 &0 \end{array}\right)$
Dan geldt voor de determinant $D$ van $A$ : $D=(-4)\times (0) - (-2)\times (-4)=-8$
Vervang de eerste kolom in $A$ door $\cv{4\\-1}$ : $A_1\left(\cv{4\\-1}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 &-2 \\ -1 &0 \end{array}\right)$
Dus: $D_1=\left|\begin{array}{cc} 4 &-2 \\ 4 &0 \end{array}\right|=(4)\times (0) - (-2)\times (-1)=-2$

Vervang de tweede kolom in $A$ door $\cv{4\\-1}$ : $A_2\left(\cv{4\\-1}\right)=\left(\begin{array}{cc} -4 &4 \\ -4 &-1 \end{array}\right)$
Dus: $D_2=\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ -4 &-1 \end{array}\right|=(-4)\times (-1) - (4)\times (-4)=20$

Volgens de regel van Cramer: $x=\frac{D_1}{D}=\frac{-2}{-8}={{1}\over{4}}\quad\text{en}\quad y=\frac{D_2}{D}=\frac{20}{-8}=-{{5}\over{2}}$ De oplossing is dus $\cv{x\\y} = \cv{\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}}$

Nieuw voorbeeld