Matrixrekening: Matrices
Eenvoudige matrixbewerkingen
Onder bepaalde voorwaarden kunnen we met matrices rekenen. We zullen in deze paragraaf de optelling en de scalaire vermenigvuldiging bespreken. Ook kijken we naar spiegeling langs de hoofddiagonaal.
Optelling van matrices
Als \(A\) en \(B\) matrices zijn met hetzelfde aantal rijen en kolommen, dan is de sommatrix \(A+B\) de matrix die je krijgt door overeenkomstige elementen bij elkaar op te tellen.
Uitgeschreven in coördinaten luidt deze definitie als volgt:
Laat \(A\) en \(B\) \(m\times n\) matrices zijn met elementen \(a_{ij}\) en \(b_{ij}\) respectievelijk. Definieer voor \(1\leq i\leq m\) en \(1\leq j\leq n\) \[
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\tiny.
\] De \(m\times n\) matrix \(C\) met elementen \(c_{ij}\) is de som van de matrices \(A\) en \(B\).
Regels voor optelling van matrices Laat \(A=(a_{ij})\), \(B=(b_{ij})\) en \(C=(c_{ij})\) drie \(m\times n\) matrices zijn.
De volgende twee eigenschappen gelden:
\[
\begin{array}{ll}
A+B=B+A & (\textit{commutativiteit}) \\
(A+B)+C=A+(B+C) & (\textit{associativiteit})
\end{array}
\]
De associativiteit stelt ons in staat om te spreken over \(A+B+C\) zonder te hoeven specificeren hoe we die bepalen: als \((A+B)+C\) of als \(A+(B+C)\). Er komt toch hetzelfde uit.
Scalaire vermenigvuldiging van een matrix
Als \(A\) een matrix is en \(\lambda\) een getal, dan is \(\lambda\cdot A\) of kortweg \(\lambda A\), de matrix die je krijgt door alle elementen van \(A\) met \(\lambda\) te vermenigvuldigen. We noemen deze bewerking de scalaire vermenigvuldiging van de scalar \(\lambda\) met de matrix \(A\) en het resultaat het scalaire product.
Als \(\lambda = -1\), dan schrijven we vaak \(-A\) in plaats van \(-1 A\). Deze matrix heet de tegengestelde matrix van \(A\).
Regels voor scalaire vermenigvuldiging Voor scalaire vermenigvuldiging gelden onderstaande rekenregels.
Als \(A\) en \(B\) matrices van gelijke afmeting zijn, en \(\lambda\) en \(\mu\) scalairen zijn, dan:
\[
\begin{array}{rl}
1\,A\!\!\! & =A \\
(\lambda+\mu)\,A\!\!\! &= \lambda\, A+\mu\, A \\
\lambda\,(A+B)\!\!\! &= \lambda A+\lambda B \\
\lambda(\mu\, A)\!\!\! &= (\lambda\, \mu)\, A
\end{array}
\]
De getransponeerde matrix De getransponeerde van een matrix \(A\), genoteerd als \(A^{\top}\), is de matrix die je krijgt als je \(A\) spiegelt in zijn hoofddiagonaal. Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is, dan is \(A^{\top}\) dus een \(n\times m\) matrix. Andere veelgebruikte notatie voor een getransponeerde matrix zijn \(A^{t}\) en \(A'\).
Regels voor getransponeerde matrices Voor matrices \(A\) en \(B\) van gelijke afmeting en elke scalar \(\lambda\) geldt: \[
\begin{array}{rl}
(A+B)^{\top}\!\!\! & = A^{\top}+B^{\top} \\
(\lambda A)^{\top}\!\!\! & = \lambda A^{\top} \\
(A^{\top})^{\top}\!\!\! & =A
\end{array}
\]
Symmetrische en antisymetrische matrices Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde. Een antisymmetrische matrix (ook wel scheefsymmetrische matrix genoemd) is een vierkante matrix die tegengesteld is aan zijn getransponeerde.
