Matrixrekening: Matrices
Determinanten uitrekenen
We beschrijven een aantal eigenschappen van de determinant van een matrix die helpen bij berekening.
Stel dat \(A\) een vierkante matrix is. Dan geldt
- als \(A\) een nulrij of nulkolom bevat, dan \(\det(A)=0\);
- als \(A\) twee identieke rijen of twee identieke kolommen bevat, dan \(\det(A)=0\);
- als \(A\) een boven- of onderdriehoeksmatrix is, dan is \(\det(A)\) het product van de diagonaalelementen;
- \(\det(A^{\top})=\det(A)\).
Stel dat \(B\) een matrix is die verkregen wordt uit de vierkante matrix \(A\) door
- een rij of kolom met een scalar \(c\) te vermenigvuldigen, dan \(\det(B)=c\cdot\det(A)\);
- twee rijen of twee kolommen van \(A\) te verwisselen, dan \(\det(B)=-\det(A)\);
- een scalair veelvoud van een rij (kolom) van \(A\) op te tellen bij een andere rij (kolom), dan \(\det(B)=\det(A)\).
Bovenstaande regels beschrijven hoe de determinant verandert gedurende elementaire rij- en kolomoperaties. Als je dit consequent bijhoudt tijdens reductie en bijvoorbeeld aanbeland bent bij een onder- of bovendriehoeksvorm, dan kun je een determinant eenvoudig uitrekenen. Kom je bij dit veegproces uit op een rij of kolom waarin een 1 staat op plek \((i,j)\) en verder in een horizontale of verticale richting alleen nullen, dan kun je de determinant uitrekenen van de matrix verkregen door weglaten van de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom, en dit resultaat vermenigvuldigen met \((-1)^{i+j}\).
We geven twee voorbeelden van berekeningen van determinanten.
Verwijzingen naar kolommen gaan via \(K_1,\ldots, K_4\).
\[\begin{array}{rlll} \left|\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 4\\ -5 & 2 & 8 & -5\\ -2 & 4 & 7 & -3\\ 2 & -3 &- 5 & 8\end{array}\right| &=& \left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 2 & 1\\ -5 & 2 & 8 & -5\\ -2 & 4 & 7 & -3\\ 0 & 1 & 2 & 5\end{array}\right| & \blue{\begin{array}{l}R_1+R_3\\ \\ \\ R_3+R_4\end{array}}\\ \\
&=& \left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 12 & 18 & 0\\ 0 & 8 & 11 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 5\end{array}\right| & \blue{\begin{array}{l} \\ R_2+5R_1\\ R_3+2R_1\\ \\ \end{array}}\\ \\
&=& \left|\begin{array}{rrr} 12 & 18 & 0\\ 8 & 11 & -1\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right| & \\ \\
&=& 6\cdot \left|\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0\\ 8 & 11 & -1\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right| & \\ \\
&=& 6\cdot \left|\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0\\ 8 & -1 & -1\\ 1 & \frac{1}{2} & 5\end{array}\right| & \blue{\begin{array}{l}\\ K_2\rightarrow K_2-\frac{3}{2}K_1 \\ \\ \end{array}}\\ \\
&=& 6\cdot 2\cdot \left|\begin{array}{rr} -1 & -1\\ \frac{1}{2} & 5\end{array}\right| & \\ \\
&=& 6\cdot 2\cdot (-1\cdot 5- ((-1)\cdot \dfrac{1}{2}) & \\
&=& 6\cdot 2\cdot (-\dfrac{9}{2}) & \\
&=& -54 &
\end{array}\]
De volgende stellingen zijn twee van de meest belangrijke stellingen over determinanten.
Stel dat \(A\) een (\(n\times n\))-matrix is. Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
- \(A\) is inverteerbaar.
- \(\text{rang}(A)=n\) oftEwel de vergelijking \(A\vec{x}=\vec{0}\) heeft alleen \(\vec{0}\) als oplossing.
- \(\det(A)\neq 0\).
Stel dat \(A\) en \(B\) zijn vierkante matrices met gelijke afmetingen. Dan geldt: \[\det(A\,B)=\det(A)\cdot \det(B)\tiny.\]
Als \(A\) inverteerbaar is dan volgt uit de stelling dat \[\det(A^{-1})=\bigl(\det(A)\bigr)^{-1}= \dfrac{1}{\det(A)}\tiny.\]
De volgende stelling laat zien dat sommige eigenschappen van de determinant zich laten generaliseren voor matrices waarvan de structuur door deelmatrices is vastgelegd.
De determinant van een vierkante matrix van de vorm \[M = \matrix{A&C\\ 0&B}\] waarbij #A# en #B# vierkante deelmatrices zijn en #C# een willekeurige matrix van passende afmetingen, is gelijk aan het product van de determinanten van de twee deelmatrices langs de diagonaal: \[\det(M) = \det(A)\cdot\det(B)\]
