Ontwikkeling van een determinant langs een rij of kolom

Matrixrekening: Matrices

Ontwikkeling van een determinant langs een rij of kolom

Een recursieve berekening van de determinant van een ( $3\times 3$ )-matrix volgt uit de volgende rangschikking van de termen in $\text{det}(A)$ : $\begin{aligned}\text{det}(A) &= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+ a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\\ \\ &= a_{11}\cdot \text{det}\!\matrix{a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}} - a_{12}\cdot \text{det}\!\matrix{a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}} + a_{13}\cdot \text{det}\!\matrix{a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}}\end{aligned}$ De laatste uitdrukking is een lineaire combinatie van drie determinanten van ( $2\times 2$ )-matrices waarbij de coëfficiënten met alternerende tekens uit de eerste rij gekozen worden en de ( $2\times 2$ )-matrices gelijk zijn aan de matrices verkregen door het schappen van de eerste rij en de kolom waarin de betreffende coëfficiënt staat: $a_{11}\cdot \text{det}\!\matrix{\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}}\\ \color{red}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \color{red}{a_{31}} & a_{32} & a_{33}} - a_{12}\cdot\text{det}\!\matrix{\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}}\\ a_{21} & \color{red}{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \color{red}{a_{32}} & a_{33}} + a_{13}\cdot\text{det}\!\matrix{\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}}\\ a_{21} & a_{22} & \color{red}{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \color{red}{a_{33}}}$

Deze recursieve methode laat zich generaliseren tot een vierkante matrix van willekeurig gekozen afmeting en kan ook met andere rijen of zelfs kolommen in de matrix gedaan worden.

Stel dat $A$ een ( $n\times n$ )-matrix is. Voor elke index $(i,j)$ kun je de ( $(n-1)\times(n-1)$ )-matrix $M_{ij}$ maken door in $A$ de $i$ -de rij en $j$ -de kolom te schrappen. De determinant $\det(M_{ij})$ heet de ( $i,j$ )-minor van het element $a_{ij}$ van $A$ . De cofactor van het element $a_{ij}$ , genoteerd met $A_{ij}$ , is de ( $i,j$ )-minor voorzien een teken: $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det(M_{ij})$ Merk op dat de minteken bij de minoren komen volgens onderstaand alternerend schema: $\matrix{+& - & + & - & \cdots\\ - & + & - & + & \cdots\\ + & - & + & - & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots}$ Dan gelden de volgende twee formules voor de determinant, die een 'ontwikkeling' langs een rij of langs een kolom voorstellen: $\begin{aligned}\det(A) &= a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots a_{in}A_{in}= \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}\qquad\text{voor elke }i\\ \det(A) &= a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots a_{in}A_{nj} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}\qquad\text{voor elke }j\end{aligned}$ Men refereert aan deze formules met de Laplace expansie van $\det(A)$ .

Keuze rij of kolom Bovenstaande ontwikkelingen zijn natuurlijk heel handig als een rij of kolom veel nullen heeft: ontwikkeling naar die rij of kolom levert dan weinig kleinere determinanten op.

Voorbeeld Bekijk $A=\left(\,\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\,\right)$ In de eerste rij komt een $0$ voor en dus is ontwikkeling van de determinant naar deze rij opportuun. Dan zijn de benodigde deelmatrices $M_{11}=\left(\,\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 3 & -1 \end{array}\,\right)\hbox{ en } M_{13}=\left(\,\begin{array}{rr} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{array}\,\right)$ Om de determinant van $A$ te berekenen via ontwikkeling naar de eerste rij, hebben de volgende twee subdeterminanten nodig: $\begin{array}{rcl}\det( M_{11})&=&\left|\,\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 3 & -1 \end{array}\,\right| =-10\\ \det( M_{13}) &=&\left|\,\begin{array}{rr} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{array}\,\right| = 5 \end{array}$ Gebruikmakend van de formule voor ontwikkeling naar de eerste rij vinden we $\begin{array}{rcl} \det (A)&=&\sum_{j=1}^3 (-1)^{1+j}a_{1j}\det (M_{1j})\\ & =& (-1)^{1+1}a_{11}\det (M_{11}) - (-1)^{1+2}a_{12}\det (M_{12}) + (-1)^{1+3}a_{13}\det (A_{13})\\ & =& a_{11}\cdot\det (M_{11}+ a_{12}\cdot\det (M_{12})+ a_{13}\cdot \det (M_{13} \\ &=& -1\cdot (-10)- 0\cdot \det (M_{12}) +2\cdot 5\\ &=& 20\end{array}$

Bovendriehoeksmatrix Een extreem voorbeeld vinden we bij het bepalen van de determinant van een zogenaamde driehoeksmatrix: boven (of onder) de diagonaal staan alleen maar nullen. De determinant is dan gelijk aan het product van de diagonaalelementen. In onderstaande bovendriehoeksmatrix ontwikkel je eerst naar de eerste kolom en dit blijf je in vervolgstappen ook doen: $\begin{array}{l l} \det (A) & =\left|\,\begin{array}{ccccc} a_{11} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & a_{22} & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\ \\\\ & =\ a_{11}\cdot \left|\,\begin{array}{ccccc} a_{22} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & \ddots & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot \left|\,\begin{array}{ccc} a_{33} & \ldots & \ast\\ & \ddots & \vdots\\ 0 & & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ &=\ a_{11}\cdot a_{22}\cdots\ \left|\,\begin{array}{cc} a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\,\cdots\, a_{n-1,n-1}\cdot a_{nn} \end{array}$

Bereken $\text{det}\!\matrix{0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ }$ .

$\begin{aligned}\text{det}\matrix{0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ } &= 0\cdot\text{det}\!\matrix{-2 & -1 \\ -2 & 0 \\ } -1\cdot\text{det}\!\matrix{1 & -1 \\ 0 & 0 \\ } + 0\cdot\text{det}\!\matrix{1 & -2 \\ 0 & -2 \\ }\\ &= (0\cdot -2) - (1\cdot0) + (0\cdot -2) \\ &= 0\end{aligned}$ Hierbij zijn we er van uitgegaan dat de berekening van de determinant van een ( $2\times 2$ )-matrix uit het hoofd kan. Bijvoorbeeld: $\text{det}\!\matrix{-2 & -1 \\ -2 & 0 \\ }=(-2\cdot0)-(-1\cdot -2) = -2$ .

Nieuw voorbeeld