Het begrip lineaire afbeelding

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

Het begrip lineaire afbeelding

Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn en $A$ een reële ( $m\times n$ )-matrix. We schrijven elementen uit $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ als kolomvectoren.

Definieer de bij $A$ passende matrixafbeelding $L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ door $L_A(\vec{x}) = A\vec{x}$ Deze afbeelding is lineair.

We noemen $L_A$ de lineaire afbeelding bepaald door $A$ . Vaak zullen we ook over $A$ als lineaire afbeelding spreken, in welk geval we $L_A$ bedoelen.

Matrixtransformatie De matrixafbeelding wordt ook wel matrixtransformatie genoemd, zeker als het een vierkante matrix betreft ( $m=n$ ).

Als $m=n=1$ en $A=\matrix{a}$ , dan is $L_A$ de afbeelding $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeven door
$L_A(x) = a\cdot x$ Linksvermenigvuldiging met een getal $a$ is dus een lineaire afbeelding $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Voorbeeld 2

Als $A=\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 }$ dan is

het beeld van de vector $\cv{3\\ 1\\ 1}$ onder $L_A$ gelijk aan $\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 }\cv{3\\ 1\\ 1}= \cv{4\\ 4}$ ;
het beeld van $5 \cdot \cv{3\\ 1\\ 1}$ onder $L_A$ gelijk aan $5\cdot \cv{4\\ 4}=\cv{20\\ 20}$ want dit juist een kenmerkende eigenschap van lineariteit van $L_A$ .

De kolommen in een matrix $A$ zijn de beelden van de eenheidsvectoren $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \ldots, \vec{e_n}$ , onder de bij $A$ passende matrixafbeelding (ga dat zelf na in een klein voorbeeld).

Noteer de bij de ( $m\times n$ )-matrix $A$ passende matrixafbeelding van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^m$ als $L_A$ . Dan heeft deze afbeelding de volgende twee eigenschappen

$L_A(\vec{x}+\vec{y})=L_A(\vec{x})+L_A(\vec{y})$ voor alle $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ .
$L_A(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L_A(\vec{x})$ voor elke $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ en elke scalar $\lambda$ .

We zeggen dat $L_A$ een lineaire afbeelding is. We gebruiken ook wel de term lineaire transformatie.

Deze twee eigenschappen volgen rechtstreeks uit de eigenschappen van matrixrekening.

Een afbeelding $L$ van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^m$ typeren we als een lineaire afbeelding of een lineaire transformatie als deze de volgende twee eigenschappen heeft.

$L(\vec{x}+\vec{y})=L(\vec{x})+L(\vec{y})$ voor alle $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ .
$L(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L(\vec{x})$ voor elke $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ en elke scalar $\lambda$ .

We kunnen de twee definiërende eigenschappen van een lineaire afbeelding ook vervangen door één regel, namelijk: $L(\lambda\,\vec{x}+\mu\,\vec{y})=\lambda\,L(\vec{x})+\mu\,L(\vec{y})\quad\text{voor alle }\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\text{ en alle scalairen }\lambda, \mu$

We kunnen deze definitie veralgemeniseren tot de volgende definitie: Een afbeelding $L$ van de vectorruimte $V$ naar de vectorruimte $W$ is een lineaire afbeelding als deze de volgende twee eigenschappen heeft.

$L(\vec{x}+\vec{y})=L(\vec{x})+L(\vec{y})$ voor alle $\vec{x},\vec{y}\in V$ .
$L(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L(\vec{x})$ , voor elke $\vec{x}\in V$ en elke scalar $\lambda$ .

Neem bijvoorbeeld voor $V$ eens de verzameling van reële functies die een afgeleide functie hebben. Dan is differentiëren een lineaire afbeelding van $V$ naar de vectorruimte van reële functies,

Als de vectorruimten $V$ en $W$ eindig-dimensionaal zijn, dan voegt de generalisatie weinig of niets toe aan de theorie.

Een lineaire afbeelding $L$ van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^n$ , of meer algemeen van een zekere vectorruimte naar dezelfde vectorruimte, wordt ook wel een lineaire transformatie genoemd.

We weten al dat een matrixafbeelding een lineaire afbeelding is. Omgekeerd kunnen we elke lineaire afbeelding we als een matrixafbeelding beschrijven. We geven hieronder een voorbeeld.

Beschouw de afbeelding $L:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ die gedefinieerd is door $L\cv{x\\y} = \cv{2x-y\\x+y}$ In matrixnotatie kunnen we deze afbeelding schrijven als $L\cv{x\\y}=\matrix{2&-1\\1&1}\cv{x\\y}$ Dus is dit een lineaire afbeelding.

We kunnen ook uit de definitie afleiden dat het om een lineaire afbeelding gaat, maar dit is meer schrijfwerk. $\begin{aligned}L\left(\cv{x\\y}+\cv{\xi\\ \eta}\right) &= L\cv{x+\xi\\ y+\eta} \\ \\ &= \cv{2(x+\xi)-(y+\eta)\\ (x+\xi)+(y+\eta)} \\ \\ &=\cv{2x-y\\ x+y}+ \cv{2\xi-\eta\\ \xi+\eta} \\ \\ &= L\cv{x\\y} +L\cv{\xi\\ \eta} \\ \\ L\left(\lambda\cv{x\\y}\right) &= L\cv{\lambda\,x\\ \lambda y}\\ \\ &= \cv{2(\lambda\,x)-(\lambda\,y\\ (\lambda\,x)+(\lambda\,y)} \\ \\ &=\cv{\lambda(2x-y)\\\lambda(x+y)}\\ \\ &=\lambda \cv{2x-y\\x+y}\\ \\ &= \lambda\,L\cv{x\\y}\end{aligned}$

Het beeld van de nulvector onder een lineaire afbeelding is weer de nulvector.

Substitueer $\lambda=0$ in de tweede definiërende eigenschap $L(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L(\vec{x})$ van een lineaire afbeelding. Dan krijg je namelijk $L(\vec{0})=\vec{0}$ .

Uit deze stelling volgt onmiddellijk dat de lineaire functie $x\mapsto a\,x+b$ alleen maar een lineaire afbeelding van $\mathbb{R}$ naar is $\mathbb{R}$ als $b=0$ .