Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen
Het begrip lineaire afbeelding
Matrixafbeelding Laat \(m\) en \(n\) natuurlijke getallen zijn en \(A\) een reële (\(m\times n\))-matrix. We schrijven elementen uit \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\) als kolomvectoren.
Definieer de bij \(A\) passende matrixafbeelding #L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m# door \[ L_A(\vec{x}) = A\vec{x}\] Deze afbeelding is lineair.
We noemen \(L_A\) de lineaire afbeelding bepaald door #A#. Vaak zullen we ook over \(A\) als lineaire afbeelding spreken, in welk geval we \(L_A\) bedoelen.
Lineariteit van een matrixafbeelding Noteer de bij de (\(m\times n\))-matrix \(A\) passende matrixafbeelding van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^m\) als \(L_A\). Dan heeft deze afbeelding de volgende twee eigenschappen
- \(L_A(\vec{x}+\vec{y})=L_A(\vec{x})+L_A(\vec{y})\) voor alle \(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\).
- \(L_A(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L_A(\vec{x})\) voor elke \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) en elke scalar \(\lambda\).
We zeggen dat \(L_A\) een lineaire afbeelding is. We gebruiken ook wel de term lineaire transformatie.
Lineaire afbeelding Een afbeelding \(L\) van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^m\) typeren we als een lineaire afbeelding of een lineaire transformatie als deze de volgende twee eigenschappen heeft.
- \(L(\vec{x}+\vec{y})=L(\vec{x})+L(\vec{y})\) voor alle \(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\).
- \(L(\lambda\,\vec{x})=\lambda\,L(\vec{x})\) voor elke \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) en elke scalar \(\lambda\).
We kunnen de twee definiërende eigenschappen van een lineaire afbeelding ook vervangen door één regel, namelijk: \[L(\lambda\,\vec{x}+\mu\,\vec{y})=\lambda\,L(\vec{x})+\mu\,L(\vec{y})\quad\text{voor alle }\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\text{ en alle scalairen }\lambda, \mu\]
We weten al dat een matrixafbeelding een lineaire afbeelding is. Omgekeerd kunnen we elke lineaire afbeelding we als een matrixafbeelding beschrijven. We geven hieronder een voorbeeld.
Beschouw de afbeelding \(L:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2\) die gedefinieerd is door \[L\cv{x\\y} = \cv{2x-y\\x+y}\] In matrixnotatie kunnen we deze afbeelding schrijven als \[L\cv{x\\y}=\matrix{2&-1\\1&1}\cv{x\\y}\] Dus is dit een lineaire afbeelding.
We kunnen ook uit de definitie afleiden dat het om een lineaire afbeelding gaat, maar dit is meer schrijfwerk. \[\begin{aligned}L\left(\cv{x\\y}+\cv{\xi\\ \eta}\right) &= L\cv{x+\xi\\ y+\eta} \\ \\ &= \cv{2(x+\xi)-(y+\eta)\\ (x+\xi)+(y+\eta)} \\ \\ &=\cv{2x-y\\ x+y}+ \cv{2\xi-\eta\\ \xi+\eta} \\ \\ &= L\cv{x\\y} +L\cv{\xi\\ \eta} \\ \\ L\left(\lambda\cv{x\\y}\right) &= L\cv{\lambda\,x\\ \lambda y}\\ \\ &= \cv{2(\lambda\,x)-(\lambda\,y\\ (\lambda\,x)+(\lambda\,y)} \\ \\ &=\cv{\lambda(2x-y)\\\lambda(x+y)}\\ \\ &=\lambda \cv{2x-y\\x+y}\\ \\ &= \lambda\,L\cv{x\\y}\end{aligned}\]
Het beeld van de nulvector onder een lineaire afbeelding is weer de nulvector.
Uit deze stelling volgt onmiddellijk dat de lineaire functie \(x\mapsto a\,x+b\) alleen maar een lineaire afbeelding van \(\mathbb{R}\) naar is \(\mathbb{R}\) als \(b=0\).
