Laat \(L_A:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^m\) en \(L_B:\mathbb{R}^p\longrightarrow \mathbb{R}^n\) matrixafbeeldingen zijn, passende bij de (\(m\times n\))-matrix \(A\) en de (\(n\times p\))-matrix \(B\). Neem nu een vector \(\vec{v}\in\mathbb{R}^p\). Passen we eerst \(L_B\) toe, dan komen we op \(L_B(\vec{v})\in \mathbb{R}^n\) terecht, Hierop kunnen we \(L_A\) toepassen en komen dan uit op \(L_A\bigl(L_B(\vec{v})\bigr)\). Zo maken we een samengestelde afbeelding \(L_A\circ L_B\).
Laat \(L_A:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^m\) en \(L_B:\mathbb{R}^p\longrightarrow \mathbb{R}^n\) matrixafbeeldingen zijn, passende bij de (\(m\times n\))-matrix \(A\) en de (\(n\times p\))-matrix \(B\). Dan is de samenstelling \(L_A\circ L_B\) ook weer een matrixafbeelding en de bijpassende matrix is gelijk aan het matrixproduct \(A\cdot B\).
In formuletaal: \[L_A\circ L_B = L_{A\,B}\]
Het vermenigvuldigen van matrices hebben we precies zo gedefinieerd dat deze stelling geldt.
Voor elke vector #\vec{x}\in\mathbb{R}^p# is het beeld #L_B(\vec{x})# gelijk aan het matrixproduct #B\vec{x}\in\mathbb{R}^n#, en voor elke vector #\vec{y}\in\mathbb{R}^n# is het beeld #L_A(\vec{y})# gelijk aan het matrixproduct #A\vec{y}\in\mathbb{R}^m#. Voor de samengestelde afbeelding #L_ A L_B :\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^m# geldt dus \[\begin{array}{rcl} (L_A\circ L_B )(\vec{x}) &=& L_A \bigl(L_B (\vec{x}) \bigr)\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van samenstelling}}\\&=& L_A (B\vec{x})\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_B}\\ &=& A(B\vec{x}) \\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_A}\\ &=&(AB)\vec{x}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van het matrixproduct}}\\&=&L_{AB}(\vec{x})\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_{AB}}\end{array} \] We concluderen dat de lineaire afbeelding #L_A\circ L_B# samenvalt met de lineaire afbeelding bepaald door de matrix #AB#.
In het Euclidische vlak \(\mathbb{R}^2\) is draaiing over 90 graden rondom de oorsprong een matrixafbeelding met matrix \(\matrix{0 & -1\\1 & 0}\) en draaiing over 180 graden rondom de oorsprong een matrixafbeelding met matrix \(\matrix{-1 & 0\\0 & -1}\). De samenstelling van deze twee draaiingen is gelijk aan een draaiing over 270 graden rondom de oorsprong met matrix \[\matrix{0 & -1\\1 & 0} \matrix{-1 & 0\\0 & -1} = \matrix{0 & 1\\-1 & 0}\]