Het vermenigvuldigen van matrices hebben we precies zo gedefinieerd dat deze stelling geldt.

Voor elke vector $\vec{x}\in\mathbb{R}^p$ is het beeld $L_B(\vec{x})$ gelijk aan het matrixproduct $B\vec{x}\in\mathbb{R}^n$, en voor elke vector $\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ is het beeld $L_A(\vec{y})$ gelijk aan het matrixproduct $A\vec{y}\in\mathbb{R}^m$. Voor de samengestelde afbeelding $L_ A L_B :\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^m$ geldt dus $$\begin{array}{rcl} (L_A\circ L_B )(\vec{x}) &=& L_A \bigl(L_B (\vec{x}) \bigr)\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van samenstelling}}\\&=& L_A (B\vec{x})\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_B}\\ &=& A(B\vec{x}) \\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_A}\\ &=&(AB)\vec{x}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van het matrixproduct}}\\&=&L_{AB}(\vec{x})\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie van }L_{AB}}\end{array}$$ We concluderen dat de lineaire afbeelding $L_A\circ L_B$ samenvalt met de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $AB$.