De inverse van een lineaire afbeelding

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

De inverse van een lineaire afbeelding

Laat $A$ een ( $n\times n$ )-matrix zijn. Deze definieert een matrixafbeelding $L_A$ van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^n$ . We kunnen deze afbeelding herhaald toepassen. We noteren $(L_A)^2=L_A\circ L_A$ , $(L_A)^3=L_A\circ (L_A)^2$ , etc. Dan geldt:

$(L_A)^n = L_{A^n}$

Laat $A$ een inverteerbare ( $n\times n$ )-matrix zijn. Deze definieert een matrixafbeelding $L_A$ van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^n$ . Deze afbeelding is dan ook inverteerbaar, zeg met inverse genoteerd als $(L_A)^{-1}$ . Dan geldt:

$(L_A)^{-1} = L_{A^{-1}}$

We moeten nagaan dat $L_A\circ L_{A^{-1}} = L_{A^{-1}}\circ L_A=I$ :

$\begin{array}{rcl}L_A\circ L_{A^{-1}} &=&L_{A\cdot A^{-1}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{samenstelling van afbeeldingen bepaald door matrices}}\\ &=&L_{I}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie inverse van een matrix}}\\ &=&I\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldiging met de identiteitsmatrix is de identieke afbeelding}}\end{array}$ Net zo kan worden bewezen dat $L_{A^{-1}}\circ L_A=I$ .