De inverse van een lineaire afbeelding

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

De inverse van een lineaire afbeelding

Laat \(A\) een (\(n\times n\))-matrix zijn. Deze definieert een matrixafbeelding \(L_A\) van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^n\). We kunnen deze afbeelding herhaald toepassen. We noteren \((L_A)^2=L_A\circ L_A\), \((L_A)^3=L_A\circ (L_A)^2\), etc. Dan geldt: \[(L_A)^n = L_{A^n}\]

Laat \(A\) een inverteerbare (\(n\times n\))-matrix zijn. Deze definieert een matrixafbeelding \(L_A\) van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^n\). Deze afbeelding is dan ook inverteerbaar, zeg met inverse genoteerd als \((L_A)^{-1}\). Dan geldt: \[(L_A)^{-1} = L_{A^{-1}}\]

We moeten nagaan dat #L_A\circ L_{A^{-1}} = L_{A^{-1}}\circ L_A=I#: \[\begin{array}{rcl}L_A\circ L_{A^{-1}} &=&L_{A\cdot A^{-1}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{samenstelling van afbeeldingen bepaald door matrices}}\\ &=&L_{I}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie inverse van een matrix}}\\ &=&I\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldiging met de identiteitsmatrix is de identieke afbeelding}}\end{array}\] Net zo kan worden bewezen dat \(L_{A^{-1}}\circ L_A=I\).