Een lineaire afbeelding \(L_A :\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) wordt gegeven door \[
L_A \cv{-1\\0\\1}=\cv{-4\\2\\4}, \quad L_A \cv{1\\1\\0}=\cv{1\\-1\\-1},\quad L_A \cv{0\\1\\2}=\cv{-5\\4\\4}\tiny.\] We zetten deze gegevens in drie kolommen met boven de kolomvector en onder diens beeld, omwille van de duidelijkheid zetten we een horizontale streep tussen boven en onder: \[
\left(\begin{array}{rrl}
-1 & 1 & \phantom{-}0\\
0 & 1 & \phantom{-}1\\
1 & 0 & \phantom{-}2 \phantom{-}\\ \hline
-4 & 1 & -5\\
2& -1& \phantom{-}4\\
4 & -1 & \phantom{-}4\end{array}\right)\] Vervolgens spiegelen we deze matrix: \[
\left(\,\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2
\end{array}\,\left|\,\begin{array}{rrr}
-4 & 2 & 4\\
1 & -1 & -1 \\
-5 & 4 & 4
\end{array}\,\right.\right)\] We vegen naar de gereduceerde trapvorm en vinden \[
\left(\,\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\,\left|\,\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -3\\
-1 & -2 & 2 \\
-2 & 3 & 1
\end{array}\,\right.\right)
\] We spiegelen deze matrix en krijgen \[
\left(\begin{array}{rrl}
1 & 0 & \phantom{-}0\\
0 & 1 & \phantom{-}0\\
0 & 0 & \phantom{-}1\phantom{-}\\ \hline
2 & -1 & -2\\
1 & -2 & \phantom{-}3\\
-3 & \phantom{-}2 & \phantom{-}1\end{array}\right)\] Door de constructie staan in de kolommen boven de drie eenheidsvectoren en onder hun bijpassende beelden onder \(L_A\) De matrix \(A\) is dus \[
A=\left(\,\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -2\\
1 & -2 & 3\\
-3 & 2 & 1
\end{array}\,\right)
\] We kunnen eenvoudig nagaan of er geen rekenfout gemaakt is door met deze matrix de beelden van \(\cv{-1\\0\\1}, \cv{1\\1\\0}\) en \(\cv{0\\1\\2}\) te bepalen.

Je kan natuurlijk het twee keer spiegelen achterwege laten door met rijvectoren i.p.v. met kolomvectoren in \(\mathbb{R}^3\) te werken.