Een lineaire afbeelding $L_A :\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ wordt gegeven door

$$L_A \cv{-1\\0\\1}=\cv{-4\\2\\4}, \quad L_A \cv{1\\1\\0}=\cv{1\\-1\\-1},\quad L_A \cv{0\\1\\2}=\cv{-5\\4\\4}\tiny.$$ We zetten deze gegevens in drie kolommen met boven de kolomvector en onder diens beeld, omwille van de duidelijkheid zetten we een horizontale streep tussen boven en onder: $$\left(\begin{array}{rrl} -1 & 1 & \phantom{-}0\\ 0 & 1 & \phantom{-}1\\ 1 & 0 & \phantom{-}2 \phantom{-}\\ \hline -4 & 1 & -5\\ 2& -1& \phantom{-}4\\ 4 & -1 & \phantom{-}4\end{array}\right)$$ Vervolgens spiegelen we deze matrix: $$\left(\,\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\,\left|\,\begin{array}{rrr} -4 & 2 & 4\\ 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 4 \end{array}\,\right.\right)$$ We vegen naar de gereduceerde trapvorm en vinden $$\left(\,\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\,\left|\,\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -3\\ -1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \end{array}\,\right.\right)$$ We spiegelen deze matrix en krijgen $$\left(\begin{array}{rrl} 1 & 0 & \phantom{-}0\\ 0 & 1 & \phantom{-}0\\ 0 & 0 & \phantom{-}1\phantom{-}\\ \hline 2 & -1 & -2\\ 1 & -2 & \phantom{-}3\\ -3 & \phantom{-}2 & \phantom{-}1\end{array}\right)$$ Door de constructie staan in de kolommen boven de drie eenheidsvectoren en onder hun bijpassende beelden onder $L_A$ De matrix $A$ is dus $$A=\left(\,\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -2\\ 1 & -2 & 3\\ -3 & 2 & 1 \end{array}\,\right)$$ We kunnen eenvoudig nagaan of er geen rekenfout gemaakt is door met deze matrix de beelden van $\cv{-1\\0\\1}, \cv{1\\1\\0}$ en $\cv{0\\1\\2}$ te bepalen.

Je kan natuurlijk het twee keer spiegelen achterwege laten door met rijvectoren i.p.v. met kolomvectoren in $\mathbb{R}^3$ te werken.