We bekijken het Euclidische vlak $\mathbb{E}^2$. Door een keuze van een assenstelsel wordt het een coördinaatruimte $\mathbb{R}^2$ waarin elk punt op het vlak door twee coördinaten beschreven wordt. De vectoren $\vec{e}_1=\cv{1\\ 0}$ en $\vec{e}_2=\cv{0\\ 1}$ zijn de eenheidsvectoren in het gekozen assenstelsel. Elke vector $\vec{v}$ vanuit de oorsprong naar een punt op het vlak, zeg met coördinaten $(v_1,v_2)$, kun je op unieke wijze schrijven als lineaire combinatie van de vectoren $\vec{e}_1$ en $\vec{e}_2$. Als we heel precies willen zijn over onze keuze van het assenstelsel, dan spreken we over $e$-coördinaten. De vector $\vec{v}=v_1\,\vec{e}_1+v_2\,\vec{e}_2$ noteren we in dit assenstelsel met de $e$-coördinaten $\cv{v_1\\v_2}$.

We kunnen in het gekozen assenstelsel kijken naar de punten in het vlak waarin de eerste en tweede coördinaten gelijk aan elkaar zijn. Ze vormen de lijn $y=x$. Spiegeling in deze lijn is een lineaire afbeelding $L$ die de eenheidsvectoren $\vec{e}_1$ en $\vec{e}_2$ verwisselt. Hierbij hoort de matrix $A=\matrix{0 & 1\\ 1 & 0}$. In de gekozen coördinaatruimte, oftewel in $e$-coördinaten, is de lineaire afbeelding $L$ de matrixvermenigvuldiging $L_A$ is: $L_A(\vec{v})=A\,\vec{v}$.

$\phantom{xx}$

Tot zo ver niets aan de hand. Maar de keuze van het assenstelsel in het Euclidische vlak is niet uniek: we zouden in dit voorbeeld ook het assenstelsel gedraaid kunnen hebben rondom de oorsprong over in het Euclidische vlak over een hoek van 45 graden. Door deze lineaire transformatie wordt $\vec{e}_1$ afgebeeld op $\vec{f}_{\!1}=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\vec{e}_1+\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\vec{e}_2$ en wordt $\vec{e}_2$ afgebeeld op $\vec{f}_{\!2}=-\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\vec{e}_1+\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\vec{e}_2$. We kunnen ook de vectoren $\vec{f}_{\!1}$ en $\vec{f}_{\!2}$ gebruiken om elk punt in het vlak uniek te beschrijven. In deze coördinaatruimte is de spiegeling in de lijn een lineaire afbeelding $L$ met $L(\vec{f}_{\!1})=\vec{f}_{\!1}$ en $L(\vec{f}_{\!2})=-\vec{f}_{\!2}$. In de nieuwe coördinaatruimte, gedefinieerd in termen van $\vec{f}_{\!1}$ en $\vec{f}_{\!2}$ (kortweg, in $f$-coördinaten), is de lineaire afbeelding $L$ de matrixvermenigvuldiging met de diagonaalmatrix $\matrix{1 & 0\\ 0 & -1}$.

$\phantom{xx}$

Kortom, het maakt voor de matrix die een lineaire afbeelding in het Euclidische vlak beschrijft uit welk assenstelsel je gekozen hebt. In onze notatie was daar tot nu toe niets van te zien, maar voor de rest in deze sectie zullen we extra labels gebruiken om een lineaire afbeelding in het Euclidische vlak als matrixafbeelding te beschrijven: in plaats van de matrix $A$ schrijven we $[A]_e^e$ voor als we werken met de eenheidsvectoren $\vec{e}_1, \vec{e}_2$, en $[A]_f^f$ voor als we werken met de vectoren $\vec{f}_{\!1}, \vec{f}_{\!2}$. In ons voorbeeld van spiegeling in een lijn is $$[A]_e^e=\matrix{0 & 1\\ 1 & 0}\quad\text{en}\quad [A]_f^f=\matrix{1 & 0\\ 0 & -1}$$

De overgang van $f$-coördinaten naar $e$-coördinaten is met een matrix te beschrijven die de $f$'s uitdrukt in de $e$'s: de eerste kolom bestaat uit de coëfficiënten van $\vec{f}_{\!1}$ uitgeschreven als lineaire combinatie van $\vec{e}_1$ en $\vec{e}_2$, en de tweede kolom bestaat uit de coëfficiënten van $\vec{f}_{\!2}$ uitgeschreven als lineaire combinatie van $\vec{e}_1$ en $\vec{e}_2$. In feite ben je de identieke transformatie Id met twee coördinatenstelsels aan het beschrijven en daarom noteren we de bijpassende matrix die de $f$'s uitdrukt in de $e$'s als $[\textit{Id}\,]_e^f$. Is een vector $\vec{v}$ in $f$-coördinaten beschreven, dan krijgen we de $e$-coördinaten door vermenigvuldiging met deze matrix: $[\vec{v}]_e=[\textit{Id}\,]_e^f\cdot [\vec{v}]_f$.

Net zo kun je de overgang van $e$ naar $f$-coördinaten met een transformatiematrix $[\textit{Id}\,]_f^e$ beschrijven die $e$'s uitdrukt in $f$'s. Dit is de inverse van de matrix $[\textit{Id}\,]_e^f$. Is een vector $\vec{v}$ in $e$-coördinaten beschreven, dan krijgen we de $f$-coördinaten door vermenigvuldiging met deze matrix: $[\vec{v}]_f=[\textit{Id}\,]_f^e\cdot [\vec{v}]_e$

In ons voorbeeld $$[\textit{Id}\,]_e^f=\matrix{\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}}\quad\text{en}\quad [\text{Id}\,]_f^e==\bigl([\textit{Id}\,]_e^f\bigr)^{-1}=\matrix{\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2}}$$ Je kunt zelf narekenen dat in dit geval geldt: $$[A]_f^f=[\textit{Id}\,]_f^e\cdot[A]_e^e\cdot[\textit{Id}]_e^f$$

Door alle lettertjes zie je bijna het bos niet meer. In praktijk noemen we $[\textit{Id}\,]_e^f$ de transformatiematrix van $f$- naar $e$-coördinaten en geven we deze matrix de naam $T$ . Dan kunnen we de bovenstaande gelijkheid dus eenvoudiger opschrijven als: $$[A]_f^f=T^{-1}\cdot[A]_e^e\cdot T$$

We zullen zien dat dit voorbeeld een prototype is van een coördinatentransformatie in $\mathbb{R}^n$ en dat de laatste gelijkheid vastlegt wat het verband is tussen de matrices van eenzelfde lineaire afbeelding in twee verschillende coördinatenstelsels.