Overgang op een ander coördinatenstelsel

Lineaire afbeeldingen: Matrices en coördinatentransformaties

Overgang op een ander coördinatenstelsel

We gaan het inleidende voorbeeld veralgemeniseren tot de \(n\)-dimensionale Euclidische ruimte \(\mathbb{R}^n\).

De eenheidsvectoren \(\vec{e}_1=\cv{1\\0\\ \vdots \\ \vdots \\ 0}, \vec{e}_2=\cv{0\\1\\0\\ \vdots \\ 0} \ldots, \vec{e}_n=\cv{0\\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \\ 1} \) horen bij een keuze van een assenstelsel in de Euclidische ruimte \(\mathbb{E}^n\). Maar je kan ook een ander assenstelsel kiezen. In feite definieer je dan asvectoren \(\vec{f}_{\!1}, \vec{f}_{\!2}, \ldots, \vec{f}_{\!n}\) langs nieuwe assen. Stel \[\begin{aligned} \vec{f}_{\!1} &= c_{11}\vec{e}_1+c_{21}\vec{e}_2+\cdots + c_{n1}\vec{e}_n\\ \vec{f}_{\!2}&= c_{12}\vec{e}_1+c_{22}\vec{e}_2+\cdots + c_{n2}\vec{e}_n\\ &\vdots \\ \vec{f}_{\!n} &= c_{1n}\vec{e}_1+c_{2n}\vec{e}_2+\cdots + c_{nn}\vec{e}_n \end{aligned}\] Dan wordt de transformatiematrix \([\textit{Id}\,]_e^f\) gedefinieerd door \[[\textit{Id}\,]_e^f=\matrix{c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}}\] Let op dat je de getransformeerde neemt van het getallenschema in de lineaire combinaties van de \(e\)-vectoren.

Elke vector \(\vec{v}\) in \(\mathbb{E}^n\) kunnen we uitschrijven als lineaire combinatie \([\vec{v}]_e\) van de eenheidsvectoren \(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n\). We schrijven \[[\vec{v}]_e = \alpha_1\vec{e}_1+\alpha_2\vec{e}_2+\cdots + \alpha_n\vec{e}_n\] Dat kunnen we ook doen met de \(\vec{f}_{\!1}, \vec{f}_{\!2}, \ldots, \vec{f}_{\!n}\): \[[\vec{v}]_f = \beta_1\vec{f}_{\!1}+\beta_2\vec{f}_{\!2}+\cdots + \beta_n\vec{f}_{\!n}\] Natuurlijk vragen we ons af welke verband er tussen de \(\alpha\)'s en de \(\beta\)'s zijn. Welnu:

\[\cv{\alpha_1\\ \vdots \\ \alpha_n}= \matrix{c_{11} & \cdots & c_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn}}\!\cv{\beta_1 \\ \vdots\\ \beta_n}\] In korte notatie: \[[\vec{v}]_e = [\textit{Id}\,]_e^f\,[\vec{v}]_f\] De transformatiematrix is per definitie inverteerbaar en we noteren deze inverse ook als \([\textit{Id}\,]_f^e\). Met andere woorden \[[\vec{v}]_f = [\textit{Id}\,]_f^e\, [\vec{v}]_e = \left([\textit{Id}\,]_e^f\right)^{-1}[\vec{v}]_e\]

Stel \(\vec{v}= \beta_1\vec{f}_{\!1}+\cdots + \beta_n\vec{f}_{\!n}\) en \(\vec{v}= \alpha_1\vec{e}_{1}+\cdots + \alpha_n\vec{e}_{n}\), dan \[[\vec{v}]_f =\cv{\beta_1 \\ \vdots\\ \beta_n}\quad\text{en}\quad [\vec{v}]_e\cv{\alpha_{\!1} \\ \vdots\\ \alpha_n}\] Omdat we via de transformatiematrix \([\textit{Id}\,]_e^f\) de \(f\)-vectoren als lineaire combinaties van de \(e\)-vectoren kunnen schrijven, hebben we \[\begin{aligned} \vec{v} &=\beta_1\vec{f}_{\!1}+\cdots + \beta_n\vec{f}_{n} \\ \\ &= \quad \beta_1(c_{11}\vec{e}_{1}+c_{21}\vec{e}_{2}+\cdots c_{n1}\vec{e}_{n}) \\ &\quad{}+ \beta_2(c_{12}\vec{e}_{1}+c_{22}\vec{e}_{2}+\cdots c_{n2}\vec{e}_n)\\ &{} \quad {}\phantom{xxx}\vdots \\ &\quad {}+\beta_n(c_{1n}\vec{e}_1+c_{2n}\vec{e}_2+\cdots c_{nn}\vec{e}_{n}) \\ \\ &=\quad (\beta_1c_{11}+\beta_2 c_{12}+\cdots+\beta_n c_{1n})\vec{e}_{1} \\ &\quad{}+ (\beta_1 c_{21}+\beta_2 c_{22}+\cdots+\beta_n c_{2n})\vec{e}_{2}\\ &{} \quad {}\phantom{xxx}\vdots \\ &\quad{}+ (\beta_1c_{1n}+\beta_2 c_{2n}+\cdots+\beta_n c_{nn})\vec{e}_{n} \end{aligned}\] Dus: \[\begin{aligned} \alpha_1 &= c_{11}\beta_1+ c_{12}\beta_2+\cdots+ c_{1n}\beta_n \\ \alpha_2 &= c_{21}\beta_1 + c_{22}\beta_2+\cdots+ c_{2n}\beta_n \\ &\vdots \\ \alpha_n &= c_{n1}\beta_1+ c_{n2}\beta_2+\cdots+ c_{nn}\beta_n\end{aligned} \] In matrixvector-vorm staat hier \[\cv{\alpha_1\\ \vdots \\ \alpha_n}= \matrix{c_{11} & \cdots & c_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn}}\!\cv{\beta_1 \\ \vdots\\ \beta_n}\]

Stel dat \(L\) een lineaire afbeelding van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^n\) is. We weten al dat daar bij de keuze van een assenstelsel geldt dat het een matrixafbeelding is, dat wil zeggen, dat er een matrix \([A]_e^e\) bestaat zodanig dat \(L(\vec{v}) = [A]_e^e\,[\vec{v}]_e\). We hebben hier de labels \(e\) gebruikt om aan te geven dat een assenstelsel is gekozen met bijpassende eenheidsvectoren \(\vec{e}_1,\ldots, \vec{e}_n\). Dezelfde lineaire afbeelding \(L\) kan ook ten opzichte van een ander assenstelsel met asvectoren \(\vec{f}_{\!1},\ldots, \vec{f}_{\!n}\) als matrixafbeelding beschreven worden, via een matrix \([A]_f^f\). De volgende stelling beschrijft het verband tussen de twee matrices.

Bij overgang van \(e\)-coördinaten naar \(f\)-coördinaten geldt \[[A]_f^f=[\textit{Id}\,]_f^e\cdot[A]_e^e\cdot[\textit{Id}\,]_e^f\tiny.\] Als we de transformatiematrix \([\textit{Id}\,]_e^f\), die de vectoren \(\vec{f}_{\!1}, \ldots \vec{f}_{\!n}\) beschrijft als lineaire combinaties van de vectoren \(\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\) , afkorten met de letter \(T\), dan geldt dus \[[A]_f^f=T^{-1}\cdot [A]_e^e\cdot T\] Onderstaand schema illustreert de coördinatentransformatie.

Voor wie zich afvraagt waarom we in de matrixafbeelding \([A]_e^e\) twee keer het label \(e\) gebruiken: dit doen we om ook coördinatentransformaties te kunnen afhandelen in het geval van een lineaire afbeelding van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^m\). Stel dat we in de beeldruimte een assenstelsel met \(\vec{f}_{\!1}, \ldots, \vec{f}_{\!m}\) als eenheidsvectoren gekozen hebben en dat we in de andere ruimte een assenstelsel met \(\vec{e}_{1}, \ldots, \vec{e}_{n}\) als eenheidsvectoren gekozen hebben, dan wordt een lineaire afbeelding \(L\) met \[\begin{aligned} L(\vec{e}_{\!1})=a_{11}\vec{f}_{\!1}+a_{12}\vec{f}_{\!2}+\cdots+a_{1m}\vec{f}_{\!m}\\ L(\vec{e}_{\!2})=a_{21}\vec{f}_{\!1}+a_{22}\vec{f}_{\!2}+\cdots+a_{2m}\vec{f}_{\!m}\\ &\vdots \\ L(\vec{e}_{\!n})=a_{n1}\vec{f}_{\!1}+a_{n2}\vec{f}_{\!2}+\cdots+a_{nm}\vec{f}_{\!m}\end{aligned}\] een matrixafbeelding met (\(m\times n\))-matrix \[[A]_e^f=\matrix{a_{11} & \ldots & a_{n1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1m} & \ldots & a_{nm}}\] zodanig dat elke vector \(\vec{v}\) afgebeeld wordt op \(L(\vec{v})\) via de matrix-vectorvermenigvuldiging \[[L(\vec{v})]_f=[A]_f^e\,[\vec{v}]_e\]

Ook kunnen we weer andere assenstelsels kiezen, bijvoorbeeld \(e'\)- en \(f'\)-coördinaten i.p.v. \(e\)- en \(f\)-coordinaten. Dan geldt: \[\begin{aligned} {[A]}_{f'}^{e'} &=[\textit{Id}]_{f'}^{f}\cdot [A]_f^e\cdot [\textit{Id}]_e^{e'} \\ &=\left([\textit{Id}]_{f}^{f'}\right)^{-1}\cdot [A]_f^e\cdot [\textit{Id}]_e^{e'}\end{aligned} \] Als we de transformatiematrix \([\textit{Id}\,]_e^{e'}\), die de vectoren \(\vec{e}_{1}', \ldots \vec{e}_{n}'\) beschrijft als lineaire combinaties van de vectoren \(\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\), afkorten met de letter \(P\), en als we de transformatiematrix \([\textit{Id}]_{f}^{f'}\), die de vectoren \(\vec{f}'_{\!1}, \ldots \vec{f}'_{\!m}\) beschrijft als lineaire combinaties van de vectoren \(\vec{f}_{\!1}, \ldots \vec{f}_{\!n}\), afkorten met de letter \(Q\), dan geldt dus \[[A]_{e'}^{f'}=Q^{-1}\cdot [A]_e^f\cdot P\]

Laat \(L\) de afbeelding van \(\mathbb{R}^2\) naar \(\mathbb{R}^2\) zijn gedefinieerd door \[L(x,y)=(2x+y, x-y)\]
Wat is de matrix \([L]_e^e\) t.o.v. eenheidsvectoren \(\vec{e}_1=\cv{1\\0}\) en \(\vec{e}_2=\cv{0\\1}\)?

Wat is de matrix \([L]_f^f\) in \(f\)-coördinaten waarbij \(\vec{f}_{\!1}=\matrix{2 \\ 1 \\ }\) en \(\vec{f}_{\!2}=\matrix{-1 \\ 0 \\ }\)?

\([L]_e^e={}\)\(\matrix{2 & 1\\ 1 & -1}\)

\([L]_f^f={}\)\(\matrix{1 & -1 \\ -3 & 0 \\ }\).

De eerste gelijkheid volgt uit \[L\cv{1\\ 0}=\cv{2\\1},\quad L\cv{0\\ 1}=\cv{1\\-1}\] door deze beeldvectoren als kolommen in de matrix te plaatsen.

De transformatiematrix \(T\) van \(f\)-coördinaten naar \(e\)-coördinaten wordt gegeven door \[T=\matrix{2 & -1 \\ 1 & 0 \\ }\tiny.\] We hebben ook de inverse van deze transformatiematrix nodig. Deze kan berekend worden met de algemene formule voor inverse van een \((2\times 2\))-matrix, maar misschien beter met onderstaand veegproces \[\begin{aligned}\left(\begin{array}{rr|rr} 2&-1&1&0\\1&0&0&1\end{array}\right)&\sim\left(\begin{array}{rr|rr} 1&0&0&1\\2&-1&1&0\end{array}\right)&{\blue{\begin{array}{c}R_2\\R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\left(\begin{array}{rr|rr} 1&0&0&1\\0&-1&1&-2\end{array}\right)&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-2R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\left(\begin{array}{rr|rr} 1&0&0&1\\0&1&-1&2\end{array}\right)&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\-R_2\end{array}}}\end{aligned}\] We lezen af: \[T^{-1} = \matrix{0 & 1 \\ -1 & 2 \\ }\]
Dan:
\[\begin{aligned} {[L]}_f^f &=T^{-1}\cdot [L]_e^e \cdot T\\ \\ &= \matrix{0 & 1 \\ -1 & 2 \\ } \matrix{2 & 1\\ 1 & -1} \matrix{2 & -1 \\ 1 & 0 \\ } \\ \\ &= \matrix{1 & -1 \\ 0 & -3 \\ } \matrix{2 & -1 \\ 1 & 0 \\ }\\ \\ &=\matrix{1 & -1 \\ -3 & 0 \\ }\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld