Gelijkvormige matrices

Lineaire afbeeldingen: Matrices en coördinatentransformaties

Gelijkvormige matrices

Twee vierkante matrices $A$ en $B$ heten gelijkvormig als er een inverteerbare matrix $T$ bestaat zodanig dat $B=T^{-1}A\,T$ .

In de vorige paragraaf hebben we eigenlijk de volgende stelling gezien.

Twee matrices stellen dan en slechts dan dezelfde lineaire afbeelding voor als ze gelijkvormig zijn.

Wat we bij het oplossen van een probleem over een lineaire afbeelding vaak proberen is het vinden van een 'mooie' matrixafbeelding bij de gegeven lineaire afbeelding. 'Mooi' betekent dan bijvoorbeeld in diagonaalvorm.

Stel dat $A$ een matrixafbeelding is horende bij een lineaire afbeelding $L$ . Dan heet $L$ diagonaliseerbaar dan en slechts dan als er een inverteerbare matrix $T$ bestaat zodanig dat $T^{-1}A\,T$ diagonaliseerbaar is.

Niet elke lineaire afbeelding of matrix is diagonaliseerbaar. Bijvoorbeeld $\matrix{1 & 1\\ 0 & 1}$ is niet diagonaliseerbaar. De volgende stelling geeft een voorbeeld van een klasse van matrices die wel diagonaliseerbaar zijn.

Elke reële symmetrische matrix is diagonaliseerbaar.

Tot slot merken we nog op dat sommige functies toegepast op gelijkvormige matrices dezelfde waarde opleveren; de determinant van een matrix is zo'n functie:

$\det(T^{-1}A\,T)=\det(A)$ voor vierkante matrices $A$ en inverteerbare matrices $T$ van gelijke afmeting als $A$ .

Een andere functie met deze eigenschap is het spoor van een matrix, genoteerd als $\text{sp}(A)$ gedefinieerd door

$\text{sp}\matrix{a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^n a_{ii}$

Voor het spoor van een matrix geldt:

$\text{sp}(T^{-1}A\,T)=\text{sp}(A)$ voor vierkante matrices $A$ en inverteerbare matrices $T$ van gelijke afmeting als $A$ .

Voor de liefhebber geven we het bewijs.

Eerst tonen we aan dat voor ( $n\times n$ )-matrices $A$ en $B$ geldt dat $\text{sp}(A\,B)=\text{sp}(B\,A)$ .

$\text{sp}(A\,B)=\sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}B_{ji}= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n B_{ji}A_{ij}= \sum_{j=1}^(BA)_{jj}= \text{sp}(BA)$

Maar dan geldt:

$\text{sp}(T^{-1}A\,T)=\text{sp}(AT^{-1}T)=\text{sp}(A\,I)=\text{sp}(A)$