Het begrip eigenwaarde en eigenvector

Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren

Het begrip eigenwaarde en eigenvector

We beginnen met een voorbeeld van een lineaire afbeelding in het platte vlak. Verander de vector \(\vec{v}\) door zijn pijlpunt te verslepen en zie wat het effect hiervan is op \(L(\vec{v})\).

Hieronder bekijken we een meetkundig vlak met een vast gekozen oorsprong \(O\). Hierin is een groene positievector \(\vec{v}\) getekend, die je kunt wijzigen door de punt aan het einde van de pijl te verslepen.
We beschouwen een lineaire afbeeldig \(L\) op dit vlak en tonen steeds in rood het beeld \(L(\vec{v})\) van \(\vec{v}\) onder deze afbeelding.

Wijzig \(\vec{v}\) en zie hoe het beeld \(L(\vec{v})\) simultaan mee veranderd.
In dit voorbeeld zijn er twee situaties te creëren:het bestaan van een vector

\(\vec{u}\) met \(L(\vec{u})=-\vec{u}\).
\(\vec{w}\) met \(L(\vec{w})=2\vec{w}\).

Probeer dergelijke vectoren te vinden door een trial-and improve methode van verslepen van \(\vec{v}\).

Nieuw voorbeeld

Als \(L\) een lineaire transformatie van een vectorruimte is, dan noemen we een niet-nul vector \(\vec{v}\) met de eigenschap dat \(L(\vec{v})=\lambda \vec{v}\) voor zekere scalar \(\lambda\) een eigenvector van \(L\) en \(\lambda\) de eigenwaarde horende bij de eigenvector.

Met andere woorden, een eigenvector van de lineaire afbeelding wordt op een veelvoud van zichzelf afgebeeld en dat de vermenigvuldigingsfactor heet de bijbehorende eigenwaarde. Als \(\vec{v}\) een eigenvector met bijbehorende eigenwaarde \(\lambda\) is, dan is elk scalair veelvoud van \(\vec{v}\) dat ook. Als \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\) eigenvectoren met dezelfde bijbehorende eigenwaarde \(\lambda\) zijn, dan is de somvector \(\vec{u}+\vec{v}\) dat ook. In feite vormt de verzameling eigenvectoren met één enkele bijbehorende eigenwaarde een vectorruimte, die een deelruimte van de omvattende vectorruimte is. Dit heet de eigenruimte van de eigenwaarde.