We bekijken de matrix \[A= \matrix{-2 & 1 & 1\\ -11 & 4 & 5\\ -1 & 1 & 0}\] Als \(\vec{v}=\cv{1\\3\\1}\), dan geldt: \[A(\vec{v})= \matrix{-2 & 1 & 1\\ -11 & 4 & 5\\ -1 & 1 & 0}\!\cv{1\\3\\1}=\cv{2\\6\\2}=2\cv{1\\3\\1}\] We zeggen dan: \(\vec{v}\) is eigenvector van \(A\) met eigenwaarde \(2\).

Controleer zelf:

• \(\cv{0\\-1\\1}\) is een eigenvector van \(A\) met bijbehorende eigenwaarde \(-1\).
  
  
• \(\cv{1\\2\\1}\) is een eigenvector van \(A\) met bijbehorende eigenwaarde \(1\).

We kunnen de drie eigenvectoren als kolommen in een transformatiematrix \(T\) plaatsen: \[T=\matrix{1 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 1 & 1& 1}\] Dan geldt (reken het maar na): \[T^{-1}=\matrix{-3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & -1}\quad\text{en}\quad T^{-1}\! A\, T = \matrix{2 & 0 & 0\\ 0 & -1& 0\\ 0 & 0 & 1}\] Met andere woorden, de matrix \(A\) is gelijkvormig met de diagonaalmatrix \(D\) met de eigenwaarden op de hoofddiagonaal.

De gelijkvormigheid van een matrix \(A\) met een diagonaalmatrix \(D\) via een transformatie \(T\) heeft gelijk een belangrijke toepassing. Stel dat je om een of andere reden \(A^{10}\) moet uitrekenen. In plaats van vele matrixvermenigvuldigingen uit te reken kun je dan beter bedenken dat \[A^{10}=(T D T^{-1})^{10}= T D^{10} T^{-1}\] en dat \(D^{10}\) een diagonaalmatrix is met op de hoofddiagonaal \(2^{10}=1024\), \((-1)^{10}=1\) en \(1\). Dan krijg je sneller als resultaat \[\begin{aligned}A^{10}& =\matrix{1 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 1 & 1& 1}\matrix{1024 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}\matrix{-3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & -1} \\ \\ &= \matrix{-3068 & 1023 & 1023\\ -9207 & 3070 & 3069\\ -3069 & 1023 & 1024}\end{aligned}\] Nu kun je je natuurlijk nog afvragen wanneer je dergelijke machten van matrices nodig hebt, maar het antwoord op deze vraag is simpel: vakgebieden zoals populatie ecologie en studies van stochastische processen (in bijvoorbeeld neurale netwerken) staan er bol mee; Google's zoekalgoritme PageRank is gebaseerd op het vinden van een eigenvector. Je komt ook eigenwaarden en eigenvectoren tegen bij het oplossen van lineaire dynamische systemen.