Stel dat $\lambda = -4$ een eigenwaarde van de matrix $$A=\matrix{-12 & -3 \\ 24 & 5}$$ is. Dan moet er dus een vector $\vec{v}$ te vinden zijn zodanig dat $A\vec{v}=-4\vec{v}$, oftewel waarvoor geldt $$(A+4 I)\vec{v}=\vec{0}\text.$$ Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix $A+4 I$.
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix $$A+4 I = \matrix{-12 & -3 \\ 24 & 5} - \matrix{-4 & 0 \\0& -4 }=\matrix{ -8 & -3 \\ 24 & 9}$$ Dit kan als volgt:
$$\begin{aligned} \matrix{-8&-3\\24&9\\}&\sim\matrix{1&{{3}\over{8}}\\24&9\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{8}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&{{3}\over{8}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-24R_1\end{array}}} \end{aligned}$$ Dus is de eigenruimte voor $\lambda = -4$ gelijk aan $\left\{ r \cv{3\\-8} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}$.
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde $-4$ is gelijk aan $\left\langle\cv{3\\-8}\right\rangle$