Stel dat \(\lambda = 5\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{5 & -4 \\ 0 & 3}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=5\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-5 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-5 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-5 I = \matrix{5 & -4 \\ 0 & 3} - \matrix{5 & 0 \\0& 5 }=\matrix{ 0 & -4 \\ 0 & -2}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{0&-4\\0&-2\\}&\sim\matrix{0&1\\0&-2\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{4}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{0&1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+2R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 5\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\0} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(5\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\0}\right\rangle\)