Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenvectoren bij een gegeven eigenwaarde berekenen
We beginnen met voorbeelden om de eigenruimte van een eigenwaarde van een matrix te berekenen.
Stel dat \(\lambda = 3\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{4 & -2 \\ 0 & 3}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=3\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-3 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-3 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-3 I = \matrix{4 & -2 \\ 0 & 3} - \matrix{3 & 0 \\0& 3 }=\matrix{ 1 & -2 \\ 0 & 0}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
Maxima restarted. (%i1) length: argument cannot be a number; found 1 #0: displayMatrix(a=[1,-2]) (sm_rref.mac line 79) #1: displayMatrixList(list=[matrix([1,-2],[0,0])]) (sm_rref.mac line 97) + an error. To debug this try: debugmode(true); (%o2) \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 3\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{2\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(3\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{2\\1}\right\rangle\)
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-3 I = \matrix{4 & -2 \\ 0 & 3} - \matrix{3 & 0 \\0& 3 }=\matrix{ 1 & -2 \\ 0 & 0}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
Maxima restarted. (%i1) length: argument cannot be a number; found 1 #0: displayMatrix(a=[1,-2]) (sm_rref.mac line 79) #1: displayMatrixList(list=[matrix([1,-2],[0,0])]) (sm_rref.mac line 97) + an error. To debug this try: debugmode(true); (%o2) \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 3\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{2\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(3\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{2\\1}\right\rangle\)
Ontgrendel volledige toegang
