Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenvectoren bij een gegeven eigenwaarde berekenen
We beginnen met voorbeelden om de eigenruimte van een eigenwaarde van een matrix te berekenen.
Stel dat \(\lambda = -2\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{-11 & -3 \\ 18 & 4}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-2\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+2 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+2 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+2 I = \matrix{-11 & -3 \\ 18 & 4} - \matrix{-2 & 0 \\0& -2 }=\matrix{ -9 & -3 \\ 18 & 6}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{-9&-3\\18&6\\}&\sim\matrix{1&{{1}\over{3}}\\18&6\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{9}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&{{1}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-18R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -2\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-2\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\3}\right\rangle\)
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+2 I = \matrix{-11 & -3 \\ 18 & 4} - \matrix{-2 & 0 \\0& -2 }=\matrix{ -9 & -3 \\ 18 & 6}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{-9&-3\\18&6\\}&\sim\matrix{1&{{1}\over{3}}\\18&6\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{9}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&{{1}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-18R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -2\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-2\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-1\\3}\right\rangle\)
