Stel dat \(\lambda = 3\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{9 & -4 \\ 12 & -5}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=3\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-3 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-3 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-3 I = \matrix{9 & -4 \\ 12 & -5} - \matrix{3 & 0 \\0& 3 }=\matrix{ 6 & -4 \\ 12 & -8}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{6&-4\\12&-8\\}&\sim\matrix{1&-{{2}\over{3}}\\12&-8\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{6}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-{{2}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-12R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 3\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-2\\-3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(3\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-2\\-3}\right\rangle\)