Stel dat \(\lambda = -5\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{3 & 0 \\ -8 & -5}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-5\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+5 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+5 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+5 I = \matrix{3 & 0 \\ -8 & -5} - \matrix{-5 & 0 \\0& -5 }=\matrix{ 8 & 0 \\ -8 & 0}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{8&0\\-8&0\\}&\sim\matrix{1&0\\-8&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{8}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+8R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -5\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{0\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.

Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-5\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{0\\1}\right\rangle\)