Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenvectoren bij een gegeven eigenwaarde berekenen
We beginnen met voorbeelden om de eigenruimte van een eigenwaarde van een matrix te berekenen.
Stel dat \(\lambda = -5\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{-9 & 8 \\ -4 & 3}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-5\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+5 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+5 I\).
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+5 I = \matrix{-9 & 8 \\ -4 & 3} - \matrix{-5 & 0 \\0& -5 }=\matrix{ -4 & 8 \\ -4 & 8}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{-4&8\\-4&8\\}&\sim\matrix{1&-2\\-4&8\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{4}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-2\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+4R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -5\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-2\\-1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-5\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-2\\-1}\right\rangle\)
Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+5 I = \matrix{-9 & 8 \\ -4 & 3} - \matrix{-5 & 0 \\0& -5 }=\matrix{ -4 & 8 \\ -4 & 8}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{-4&8\\-4&8\\}&\sim\matrix{1&-2\\-4&8\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{4}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-2\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+4R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -5\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-2\\-1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}\).
Hierbij hebben we zo nodig breuken in de oplossing vermeden.
Anders opgeschreven: de eigenruimte bij eigenwaarde \(-5\) is gelijk aan \(\left\langle\cv{-2\\-1}\right\rangle\)
Ontgrendel volledige toegang