Eigenwaarden berekenen

Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden berekenen

Overgebleven is de vraag hoe we de eigenwaarden van een matrix bepalen. Het antwoord zit al een beetje opgesloten in de voorbeelden van het berekenen van eigenvectoren bij een gegeven eigenwaarde.

Stel $A$ is een vierkante matrix en $\lambda$ is een scalar. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

$\lambda$ is een eigenwaarde van $A$ .
$\text{ker}(A-\lambda I)\neq \{\vec{0}\}$ .
$\det(A-\lambda I)=0$ .

Is $\lambda$ een eigenwaarde, dan is de eigenruimte, genoteerd met $E_{\lambda}$ , gelijk aan de kern van $A-\lambda I$ .

Stel $\lambda$ is een eigenwaarde van de vierkante matrix $A$ . Dan is er een kolomvector $\vec{v}$ ongelijk aan de nulvector zodanig dat $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ . Dit hebben we een eigenvector genoemd en $\lambda$ is de bijbehorende eigenwaarde. Anders opgeschreven moet dus gelden: $(A-\lambda I) \vec{v}=\vec{0}$ . De matrix $A-\lambda I$ moet dus singulier (niet-inverteerbaar) zijn. Immers als de matrix wel inverteerbaar is, dan wordt alleen de nulvector op de nulvector afgebeeld. $A-\lambda I$ is dan en slechts dan singulier als $\det(A-\lambda I)=0$ . De eigenruimte $E_{\lambda}$ is gelijk aan de kern van $A-\lambda I$ .

Als $A$ een $n\times n$ matrix is, dan heet $\det(A-\lambda I)$ de karakteristieke veelterm van $A$ en de vergelijking $\det(A-\lambda I)=0$ noemen we de karakteristieke vergelijking van $A$ .

In sommige lineaire algebra boeken wordt de karakteristieke veelterm van een matrix $A$ gedefinieerd als $\det(\lambda I-A)$ . Dat kan ook want het levert geen andere formulering of andere resultaten op.

Bovenstaande stelling over een eigenwaarde vertaalt zich dan in de volgende stelling.

Stel $A$ is een vierkante matrix en $\lambda$ is een scalar. Dan is $\lambda$ een eigenwaarde als het een oplossing van de karakteristieke vergelijking is, oftewel als het een wortel is van de karakteristieke veelterm.

De algebraische multipliciteit van een eigenwaarde is de multipliciteit als wortel van de karakteristieke veelterm. De meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde is de dimensie van de eigenruimte d.w.z. gelijk aan het kleinste aantal opspannende eigenvectoren.

Om eigenwaarden van een matrix op te sporen, volstaat dus om de karakteristieke veelterm te bepalen en alle wortels hiervan uit te rekenen. We geven een paar voorbeelden.

Bekijk in $\mathbb{R}^3$ de loodrechte projectie $P$ op het grondvlak.
Met andere woorden $P$ is de matrixafbeelding $L_P$ met matrix $P=\matrix{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}$ Bepaal de eigenwaarden en eigenruimten van $P$ .

De karakteristieke vergelijking is $\det\matrix{1-\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1-\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda}=0$ oftewel $-\lambda(1-\lambda)^2=0$ met als wortels $\lambda =0$ en $\lambda=1$ . De eigenruimte bij $\lambda=0$ is de oplossingsverzameling van het stelsel $\matrix{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}\cv{x\\y\\z}=\cv{0\\0\\0}$ en bestaat uit vectoren met de eerste twee componenten gelijk aan nul. Dat is een lijn: $E_{0}=\sbspmatrix{\cv{0\\0\\1}}$ De eigenruimte bij $\lambda=1$ is de oplossingsverzameling van het stelsel $\matrix{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1}\cv{x\\y\\z}=\cv{0\\0\\0}$ en bestaat uit vectoren met de derde component gelijk aan nul. Dat is het vlak met vergelijking $z=0$ : $E_{1}=\sbspmatrix{\cv{1\\0\\0}, \cv{0\\1\\0}}$

Nieuw voorbeeld