De karakteristieke vergelijking is $$\det\matrix{2-\lambda & 0 \\ 2 & 1-\lambda }=0$$ We herschrijven eerst de karakteristieke veelterm van $A$:
$$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) = \left\vert \begin{array}{cc} 2-\lambda & 0 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right\vert &= (2-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot2 \\ &= (2-\lambda)(1-\lambda) \end{aligned}$$ De eigenwaarden zijn dus $\lambda_1 = 1$ en $\lambda_2 = 2$.

Stel dat $\lambda = 1$ een eigenwaarde van de matrix $$A=\matrix{2 & 0 \\ 2 & 1}$$ is. Dan moet er dus een vector $\vec{v}$ te vinden zijn zodanig dat $A\vec{v}=1\vec{v}$, oftewel waarvoor geldt $$(A-I)\vec{v}=\vec{0}\text.$$ Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix $A-I$. Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix $$A-I = \matrix{2 & 0 \\ 2 & 1} - \matrix{1 & 0 \\0& 1 }=\matrix{ 1 & 0 \\ 2 & 0}$$ Dit kan als volgt:
$$\begin{aligned} \matrix{1&0\\2&0\\}&\sim\matrix{1&0\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-2R_1\end{array}}} \end{aligned}$$ Dus is de eigenruimte voor $\lambda = 1$ gelijk aan $\left\{ r \cv{0\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{0\\1}\right\rangle$.

Stel dat $\lambda = 2$ een eigenwaarde van de matrix $$A=\matrix{2 & 0 \\ 2 & 1}$$ is. Dan moet er dus een vector $\vec{v}$ te vinden zijn zodanig dat $A\vec{v}=2\vec{v}$, oftewel waarvoor geldt $$(A-2 I)\vec{v}=\vec{0}\text.$$ Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix $A-2 I$. Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix $$A-2 I = \matrix{2 & 0 \\ 2 & 1} - \matrix{2 & 0 \\0& 2 }=\matrix{ 0 & 0 \\ 2 & -1}$$ Dit kan als volgt:
$$\begin{aligned} \matrix{0&0\\2&-1\\}&\sim\matrix{2&-1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}R_2\\R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-{{1}\over{2}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{2}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}} \end{aligned}$$ Dus is de eigenruimte voor $\lambda = 2$ gelijk aan $\left\{ r \cv{-1\\-2} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{-1\\-2}\right\rangle$.
Hierbij hebben we waar het uitkomt breuken in de oplossing vermeden.