De karakteristieke vergelijking is \[\det\matrix{22-\lambda & -24 \\ 18 & -20-\lambda }=0\] We herschrijven eerst de karakteristieke veelterm van \(A\):
\[ \begin{aligned}
\det(A-\lambda I) = \left\vert \begin{array}{cc} 22-\lambda & -24 \\ 18 & -20-\lambda \end{array} \right\vert &= (22-\lambda)(-20-\lambda)+24\cdot18 \\
&= (22-\lambda)(-20-\lambda)+432 \\ &= \lambda^2-2\,\lambda-8
\end{aligned}\] Met het doel om de karakteristieke vergelijking op te lossen, factorisen we als de karakteristieke veelterm volgt: \[ \lambda^2-2\,\lambda-8 = (\lambda+2)(\lambda-4) \] De eigenwaarden zijn dus \(\lambda_1 = -2\) en \(\lambda_2 = 4\).

Stel dat \(\lambda = -2\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{22 & -24 \\ 18 & -20}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=-2\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A+2 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A+2 I\). Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A+2 I = \matrix{22 & -24 \\ 18 & -20} - \matrix{-2 & 0 \\0& -2 }=\matrix{ 24 & -24 \\ 18 & -18}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{24&-24\\18&-18\\}&\sim\matrix{1&-1\\18&-18\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{24}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-18R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = -2\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{-1\\-1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{-1\\-1}\right\rangle\).

Stel dat \(\lambda = 4\) een eigenwaarde van de matrix \[A=\matrix{22 & -24 \\ 18 & -20}\] is. Dan moet er dus een vector \(\vec{v}\) te vinden zijn zodanig dat \(A\vec{v}=4\vec{v}\), oftewel waarvoor geldt \[(A-4 I)\vec{v}=\vec{0}\text.\] Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix \(A-4 I\). Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix \[A-4 I = \matrix{22 & -24 \\ 18 & -20} - \matrix{4 & 0 \\0& 4 }=\matrix{ 18 & -24 \\ 18 & -24}\] Dit kan als volgt:
\[\begin{aligned}
\matrix{18&-24\\18&-24\\}&\sim\matrix{1&-{{4}\over{3}}\\18&-24\\}&{\blue{\begin{array}{c}{{1}\over{18}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-{{4}\over{3}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-18R_1\end{array}}} \end{aligned}\] Dus is de eigenruimte voor \(\lambda = 4\) gelijk aan \(\left\{ r \cv{4\\3} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{4\\3}\right\rangle\).
Hierbij hebben we waar het uitkomt breuken in de oplossing vermeden.