De karakteristieke vergelijking is $$\det\matrix{-4-\lambda & 9 \\ -6 & 11-\lambda }=0$$ We herschrijven eerst de karakteristieke veelterm van $A$:
$$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) = \left\vert \begin{array}{cc} -4-\lambda & 9 \\ -6 & 11-\lambda \end{array} \right\vert &= (-4-\lambda)(11-\lambda)-9\cdot-6 \\ &= (-4-\lambda)(11-\lambda)+54 \\ &= \lambda^2-7\,\lambda+10 \end{aligned}$$ Met het doel om de karakteristieke vergelijking op te lossen, factorisen we als de karakteristieke veelterm volgt: $$\lambda^2-7\,\lambda+10 = (\lambda-5)(\lambda-2)$$ De eigenwaarden zijn dus $\lambda_1 = 5$ en $\lambda_2 = 2$.

Stel dat $\lambda = 5$ een eigenwaarde van de matrix $$A=\matrix{-4 & 9 \\ -6 & 11}$$ is. Dan moet er dus een vector $\vec{v}$ te vinden zijn zodanig dat $A\vec{v}=5\vec{v}$, oftewel waarvoor geldt $$(A-5 I)\vec{v}=\vec{0}\text.$$ Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix $A-5 I$. Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix $$A-5 I = \matrix{-4 & 9 \\ -6 & 11} - \matrix{5 & 0 \\0& 5 }=\matrix{ -9 & 9 \\ -6 & 6}$$ Dit kan als volgt:
$$\begin{aligned} \matrix{-9&9\\-6&6\\}&\sim\matrix{1&-1\\-6&6\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{9}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-1\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+6R_1\end{array}}} \end{aligned}$$ Dus is de eigenruimte voor $\lambda = 5$ gelijk aan $\left\{ r \cv{1\\1} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{1\\1}\right\rangle$.

Stel dat $\lambda = 2$ een eigenwaarde van de matrix $$A=\matrix{-4 & 9 \\ -6 & 11}$$ is. Dan moet er dus een vector $\vec{v}$ te vinden zijn zodanig dat $A\vec{v}=2\vec{v}$, oftewel waarvoor geldt $$(A-2 I)\vec{v}=\vec{0}\text.$$ Met andere woorden, we moeten de kern vinden van de matrix $A-2 I$. Dit kunnen we doen door middel van rijreductie van de matrix $$A-2 I = \matrix{-4 & 9 \\ -6 & 11} - \matrix{2 & 0 \\0& 2 }=\matrix{ -6 & 9 \\ -6 & 9}$$ Dit kan als volgt:
$$\begin{aligned} \matrix{-6&9\\-6&9\\}&\sim\matrix{1&-{{3}\over{2}}\\-6&9\\}&{\blue{\begin{array}{c}-{{1}\over{6}}R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&-{{3}\over{2}}\\0&0\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2+6R_1\end{array}}} \end{aligned}$$ Dus is de eigenruimte voor $\lambda = 2$ gelijk aan $\left\{ r \cv{-3\\-2} \middle|\;r\in\mathbb R\right\}=\left\langle\cv{-3\\-2}\right\rangle$.
Hierbij hebben we waar het uitkomt breuken in de oplossing vermeden.