Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en eigenvectoren: Eigenwaarden en eigenvectoren

Diagonaliseerbaarheid

De eigenwaarden van een diagonaalmatrix zijn haast per definitie de eigenwaarden van zo'n matrix. Omgekeerd kun je je afvragen of de eigenwaarden van een matrix ook iets over de diagonaliseerbaarheid van de matrix zeggen, dat wil zeggen, of er een gelijkvormige diagonaalmatrix bestaat met eigenwaarden als niet-nul elementen. Dit is gebaseerd op de volgende stelling.

Gelijkvormige vierkante matrices hebben dezelfde eigenwaarden.

Als $\lambda$ een eigenwaarde van de vierkante matrix $A$ is en $T$ een inverteerbare matrix met dezelfde afmeting als die van $A$ , dan geldt dat $\lambda$ ook een eigenwaarde is van $T^{-1}\!AT$ . Immers voor een eigenvector $\vec{v}$ bij eigenwaarde $\lambda$ geldt: $\begin{aligned}(T^{-1}\!A\,T)(T^{-1}\vec{v})&= (T^{-1}\!A\,T\,T^{-1})\vec{v}\\ &= (T^{-1}\!A)\vec{v}\\ &=T^{-1}(A\vec{v}) \\ &=T^{-1}(\lambda\vec{v})=\lambda (T^{-1}\vec{v})\end{aligned}$ Met andere woorden: $T^{-1}\vec{v}$ is een eigenvector van $T^{-1}\!A\,T$ met bijbehorende eigenwaarde $\lambda$ .

Hieruit volgt de volgende stelling over diagonaliseerbaarheid.

Als er voor een ( $n\times n$ )-matrix $A$ juist $n$ verschillende eigenwaarden bestaan, dan is $A$ diagonaliseerbaar.

Verder geldt dat als $T$ de transformatiematrix is die de eigenvectoren bij de verschillende eigenwaarden als kolommen heeft, dan $T^{-1}A\,T$ de diagonaalmatrix is met de eigenwaarden op de hoofddiagonaal.

We kunnen deze stelling ook nog zo formuleren dat eigenwaarden gelijk mogen zijn, maar meervoudig meetellen in de zogenaamde eigendecompositie.

Stel dat een ( $n\times n$ )-matrix $A$ $k$ verschillende eigenwaarden $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ heeft en dat de dimensies van de bijbehorende eigenruimtes gelijk zijn aan $d_1,\ldots, d_k$ , dan is $A$ diagonaliseerbaar dan en slechts dan als $d_1+\cdots + d_k=n$ .

We weten al dat niet elke matrix diagonaliseerbaar is: $\matrix{0 & 1\\ 1 & 0}$ is bijvoorbeeld niet diagonaliseerbaar. Des te opmerkelijker is de volgende eigenschap van symmetrische matrices.

Spectraalstelling voor symmetrische matrices Elke symmetrische matrix is diagonaliseerbaar.

De spectraalstelling is in feite nog sterker door de bewering dat de transformatiematrix $T$ die eigenvectoren als kolommen heeft zo gekozen kan worden dat de eigenvectoren lengte 1 hebben en onderling loodrecht staan met betrekking tot het standaardinproduct. Met andere woorden, de transformatiematrix $T$ kan zo gekozen worden dat $T\, T^{\top}=I$ . Verder zijn alle eigenwaarden reëel voor een reële symmetrische matrix.

De spectraalstelling kan ook als volgt geformuleerd worden:

Stel dat $A$ een $n\times n$ reële matrix is. De matrix $A$ is symmetrisch dan en slechts dan als er een orthogonale matrix $T$ (d.w.z. met de eigenschap $T\, T^{\top}=I$ ) bestaat zodanig dat $T^{\top}A\,T$ een diagonaalmatrix is.