Wat is een differentiaalvergelijking?

Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding

Wat is een differentiaalvergelijking?

Vergelijkingen zoals je ze kent Je kent van middelbare school al vergelijkingen waarbij oplossingen getallen zijn. Bijvoorbeeld: de oplossingen van de kwadratische vergelijking \(x^2=2\) zijn \(x=\sqrt{2}\) en \(x=-\sqrt{2}\). Je kent ook al vergelijkingen waarbij oplossingen paren van getallen zijn. Bijvoorbeeld: de oplossingen van de vergelijking \(x^2+y^2=1\) zijn alle paren getallen \((x,y)\) die te interpreteren zijn als coördinaten van punten op de cirkel met centrum \((0,0)\) en straal 1. Er zijn dus oneindig veel oplossingen. Gegeven een getal \(x\) tussen -1 en 1 zijn er maar twee oplossingen, nl. \(y=\sqrt{1-x^2}\) en \(y=-\sqrt{1-x^2}\). De positieve oplossing \(y=\sqrt{1-x^2}\) kun je lezen als een functioneel verband tussen \(y\) en \(x\). Met andere woorden: je kunt de vergelijking \(x^2+y^2=1\) lezen als een vergelijking die een functie als oplossing heeft. Je stelt je dan eigenlijk de vraag welke functie \(f(x)\) de eigenschap heeft dat \(f(x)^2+x^2=1\) voor alle \(x\).

Een differentiaalvergelijking Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de oplossing een functie (of soms een verzameling van functies) is. Maar in dit geval komen er naast een of meer onbekende functies ook een of meer afgeleiden van die functies voor. De onbekende in een differentiaalvergelijking is dus niet een getal maar een functie (van plaats, tijd, of allebei).

Een differentiaalvergelijking voor een functie van één variabele heet een gewone differentiaalvergelijking, afkort met GDV of zelfs met DV.
Een differentiaalvergelijking voor een functie van twee of meer variabelen heet een partiële differentiaalvergelijking, afgekort met PDV, omdat de hierin voorkomende afgeleiden zogenaamde partiële afgeleiden zijn.

Voorbeelden van GDVs Voorbeelden van GDVs zijn:

Exponentiële groei of verval: \[y'(t) = r\cdot y(t)\] voor een constante \(r\neq 0\).
Begrensde exponentiële groei: \[y'(t) = r\cdot \bigl(a- y(t)\big)\] voor niet-negatieve constanten \(r\) en \(a\).
Logistische groei: \[y'(t) = r\cdot y(t)\cdot\left(1-\frac{y(t)}{a}\right)\] voor constanten \(r, a\neq 0\).

Voorbeelden van PDVs Voorbeelden van PDVs zijn:

Diffusievergelijking voor de voortplanting van een actiepotentiaal langs een axon:\[\frac{\partial v(x,t)}{\partial t} = a \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2} -b\] voor niet-negatieve constanten \(a\) en \(b\).
Fisher vergelijking voor een ruimtelijk uitgebreide beschrijving van een populatie: \[\frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + r\, y(x,t)\,\left(1-\frac{y(x,t)}{K}\right)\] voor constanten \(D, r, K\neq 0\).

Partiële afgeleide Partiële afgeleiden horen bij functies van meer variabelen. We lichten kort toe we ermee bedoelen. Je kunt bij een functie \(f(x,t)\) die afhangt van plaats \(x\) en tijd \(t\) één van de variabelen, zeg \(t\), constant houden. Je krijgt dan een functie die alleen \(x\) als onafhankelijke variabele heeft. Als deze functie 'net' is, kun je de afgeleide hiervan bepalen: deze afgeleide heet de partiële afgeleide van \(f(x,t)\) naar \(x\) van orde 1, die we noteren met \(\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}(x,t)\). Je kunt ook de partiële afgeleide weer als functie van twee variabelen zien en opnieuw partieel differentiëren. Dan krijg je partiële afgeleiden zoals: \[\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\right)\quad\text{en}\quad \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x \partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\right)\]

Voor \[f(x,y)=2x^2+3xy+4y^2\] geldt \[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 4x+3y \\ \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 3x+8y \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 4\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 8\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=3\end{aligned}\]

In dit wiskunde onderdeel worden alleen functies van één variabele, namelijk tijd \(t\), bestudeerd en de GDVs worden dan ook wel dynamische systemen genoemd. Partiële differentiaalvergelijkingen komen niet aan bod.

Voorbeeld 1 Een eenvoudig voorbeeld van een differentiaalvergelijking is \[y'(t)=0\tiny.\] De onbekende functie is \(y(t)\), waarvoor moet gelden dat de afgeleide gelijk aan nul is. Een oplossing van deze differentiaalvergelijking is \(y(t)=1\) want de afgeleide is dan inderdaad 0. Maar er zijn meer oplossingen mogelijk: \(y(t)=0\) en \(y(t)=1\!\tfrac{1}{2}\) zijn ook oplossingen. In feite is elke constante functie een oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking en we schrijven dit op als: \[y(t)=c\] waarbij \(c\) een willekeurige constante is. Deze in het begin nog onbekende functie kan dus ook gedefinieerd worden als de algemene oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking. Wel zijn er oneindig veel oplossingen omdat \(c\) elke reële waarde kan aannemen. Om één oplossing te selecteren is een extra voorwaarde nodig: bijvoorbeeld de waarde van de functie op een zeker tijdstip.

Example 2 Een moeilijker voorbeeld van een differentiaalvergelijking is \[y'(t)\cdot y(t)=t\tiny.\] De onbekende functie is \(y(t)\), waarvoor moet gelden dat het product van de functie met zijn afgeleide gelijk is aan de identiek functie. De algemen oplossing van deze differentiaalvergelijking is \(y(t)=\sqrt{t^2+c}\) of \(y(t)=-\sqrt{t^2+c}\,\). Om de correctheid van deze oplossing in te zien en om the begrijpen hoe deze goplossing gevonden kan worden, helpt het om de linkerkant van de differentiaalvergelijking te herschrijven als \(\tfrac{1}{2}\cdot\left(y(t)^2\right)' \). Dus de afgeleide van het kwadraat van de onbekende functie is gelijk aan de functie \(t\mapsto 2t\), die op zichzelf weer de afgeleide is van de kwadraatfunctie \(t\mapsto t^2\). Dus \(y(t)^2 = t^2+c\) voor een zekere constante \(c\).