Notatie voor GDVs

Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding

Notatie voor GDVs

Het kiezen van een geschikte notatie is vaak essentieel voor het uitvoeren van wiskunde. De theorie van differentiaalvergelijkingen is daar geen uitzondering op: je wilt een compacte, goed leesbare notatie voor functies en afgeleiden.

Omdat het zo vervelend is om een grootheid $y$ steeds als functie van $t$ te moeten schrijven, als $y(t)$ , gebruikt men afkortingen: $y(t)$ is kortweg $y$ en $y'(t)$ schrijft men als $y'$ of $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}$ . De tweede afgeleide $y''(t)$ noteert men als $y''$ of $\displaystyle\frac{\dd^2y}{\dd t^2}$ . Meer algemeen noteert men voor een natuurlijk getal $n$ de $n$ -de afgeleide als $y^{(n)}$ of $\displaystyle\frac{\dd^ny}{\dd t^n}$ .

In deze verkorte notatie is de GDV van exponentiële groei:

$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y$ Deze verkorte notatie $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}$ voor een afgeleide past bij het begrip differentiaal: de laatstgenoemde GDV kan in termen van differentialen geschreven worden als

$\dd y=r\cdot y\,\dd t$ Dit noemen we het opschrijven van de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm. Hoe handig deze notatie blijkt wel als we de oplossing van deze GDV bepalen via de methode van scheiden van variabelen.

Differentialen

Stel dat de functie $y=f(t)$ differentieerbaar is in het punt $t$ . Voor een kleine toename ${\vartriangle}t$ van $t$ , kan men de toename ${\vartriangle}y=f(t+{\vartriangle}t)-f(t)$ goed schatten met de volgende formule:

${\vartriangle}y\approx f'(t)\cdot {\vartriangle}t$ Hoe dichter in de buurt van $t$ , d.w.z. hoe kleiner ${\vartriangle}t$ , des te beter is de schatting van de functiewaarde. Achterliggend idee bij deze formule is dat de grafiek van een differentieerbare functie praktisch gezien een rechte lijn is als voldoende ingezoomd wordt. Voor verwaarloosbare veranderingen, genoteerd met $\dd y$ en $\dd t$ en ook wel infinitesimale veranderingen genoemd, kan dan het volgende opgeschreven worden:

$\text{Als }y=f(t), \text{ dan is }\dd y=f'(t)\,\dd t$ Het rechterlid $f'(t)\,\dd t$ heet de differentiaal van f en men gebruikt hiervoor de notaties $\dd y$ , $\dd f$ en $\dd\bigl(f(t)\bigr)$ .

De differentiaal van $f$ hangt dus af van het tijdstip $t$ en de infinitesimale verandering $\dd t$ . Als $\dd y$ genoteerd wordt als $\dd f$ , dan is het verband tussen differentialen en afgeleiden snel gelegd: het quotiënt van de differentialen $\dd f$ en $\dd t$ , beter bekend onder de naam differentiaalquotiënt, is gelijk aan de afgeleide $f'(t)$ in $t$ . Vandaar het gemengde gebruik van $y'$ en $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}$ voor de afgeleide functie in deze lesmodule.

Ook is hiermee duidelijk dat een differentiaalvergelijking, d.w.z. een vergelijking waarin naast een nog onbekende functie ook een of meer afgeleiden van die functie voorkomen, tevens als vergelijking tussen differentialen opgeschreven kan worden: bijvoorbeeld kan de differentiaalvergelijking $\displaystyle\frac{dd y}{\dd t}=y$ als relatie tussen differentialen geschreven worden als $\dd y=y\,\dd t$ . Meer algemeen kan de differentiaalvergelijking $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)$ , met $\varphi$ een functie in twee veranderlijken, herschreven worden in termen van differentialen als $\dd y=\varphi(t,y)\,\dd t$ .

Scheiden van variabelen In het kort komt de methode van scheiden van variabelen er op neer dat we in het voorbeeld van de GDV

$\dd y=r\cdot y\,\dd t$ de differentiaalvorm herschrijven door ― nomen est omen ― variabelen $y$ en $t$ te scheiden via

$\frac{\dd y}{y}= r\,\dd t$ Links en rechts integreren levert nu op:

$\int \frac{1}{y}\,d\dd y= \int r\,\dd t$ oftewel

$\ln|y|=r\cdot t +C$ Herschrijven van deze vergelijking levert dan op:

$|y|=e^{r\cdot t+C}=e^C\cdot e^{r\cdot t}$ De algemene oplossing van de GDV

$y'=r\cdot y$ is dan

$y=c\cdot e^{r\cdot t}$ voor zekere constante $c$ .