Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding
Van differentiaalvergelijking naar functievoorschrift
Een 'nette' functie kun je differentiëren. Neem bijvoorbeeld de exponentiële functie \[y(t)=e^t\tiny,\] met als afgeleide weer de exponentiële functie \[y'(t)=e^t\tiny.\] De exponentiële functie \(y(t)=e^t\) voldoet dus op elk tijdstip \(t\) aan de differentiaalvergelijking \(y'=y\). Dit noemt men een oplossing van de GDV.
De vergelijking \(y'=y\) heeft nog meer oplossingen, bijvoorbeeld: \[\begin{aligned} y(t)&= 2e^t,\\ y(t)&= -e^t,\\ y(t)&= -\tfrac{1}{3}e^t. \end{aligned}\] Deze oplossingen zijn allemaal van de gedaante \[y(t)=c\cdot e^t\tiny,\] voor een zekere constante \(c\). Zijn dit nu alle oplossingen? Het antwoord is ja.
Stelling De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}=y\] is \[y(t)=c\cdot e^t\tiny,\] voor een zekere constante \(c\).
Neem eens aan dat er ook nog oplossingen bestaan van de gedaante \[y(t)=z(t)\cdot e^t\tiny,\] waarbij \(z(t)\) een nog onbekende functie van \(t\) is.
Enerzijds geldt (m.b.v. de productregel voor differentiëren) \[y'(t)=\left(z(t)\cdot e^t\right)'= z'(t)\cdot e^t + z(t)\cdot \bigl(e^t\bigr)'= z'(t)\cdot e^t + z(t)\cdot e^t\tiny.\] Anderzijds moet de functie \(y(t)\) voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking \(y'=y\) en geldt dus \[y'(t)=z(t)\cdot e^t\tiny.\] Uit de laatste twee formules voor \(y'(t)\) volgt dat voor alle \(t\) moet gelden: \[z'(t)\cdot e^t =0\tiny.\] Dit kan alleen als \[z'(t)=0.\] Oftewel de functie \(z(t)\) is constant.
Voor de differentiaalvergelijking \(y'=y\) zijn hiermee de oplossingen uitputtend onderzocht. Meer algemeen geldt dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kan hebben, maar dat men door gebruik te maken van constanten soms toch de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking wiskundig kan beschrijven. Bij een dergelijke constante wordt vaak de naam integratieconstante gebruikt omdat het oplossen van veel differentiaalvergelijkingen neerkomt op het integreren van functies (bijvoorbeeld in de methode van scheiden van variabelen).
