Gedrag van oplossingen

Gewone differentiaalvergelijkingen: Lijnelementenveld en oplossingskrommen

Gedrag van oplossingen

Het lijnelementenveld bij een differentiaalvergelijking en hierin getekende integraalkrommen geven vaak een aardig beeld van het gedrag van oplossingen van de differentiaalvergelijking. We illustreren dit aan de hand van logistische groei. In de volgende sectie gaan we dieper in op het gedrag van oplossingen.

Het groeimodel met exponentiële toename van een grootheid $y$ gaat niet op als er een natuurlijke grens is. Voor de groei van een populatie kan dit bijvoorbeeld de beperkte hoeveelheid voedsel zijn. Een mogelijk betere beschrijving wordt dan gegeven door een model waarin de groefactor afneemt met de grootte van $y$ . Het eenvoudigste model gaat uit van een lineaire afname. Dit is het zogeheten logistische groeimodel, voorgesteld door de demograaf Pierre-François Verhulst om de populatiegroei bij hoge dichtheden tegen te gaan:

$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot\left(1-\frac{y}{a}\right)$ waarbij $r$ en $a$ constanten ongelijk 0 zijn. De constante $a$ wordt de draagkracht genoemd en $r$ de intrinsieke groeicoëfficiënt. De oplossing van deze GDV met $a=1$ , $r=1$ en beginwaarde $y(0)=\tfrac{1}{2}$ wordt de logistische functie of genoemd sigmoïdefunctie. Deze functie, in formulevorm gelijk aan $f(t)=\dfrac{1}{1+e^{-t}}$ , en functies met eenzelfde S-vormige functiegrafiek worden veel gebruikt in biologische wetenschappen; bijvoorbeeld bij de studie van de groei van bacteriekolonies.

Een concreet voorbeeld van een logistische vergelijking is

$\frac{\dd y}{\dd t}=y \left(1-\frac{y}{2}\right)$ In onderstaande figuur is een oplossingskromme getekend.
Deze GDV kan ook exact opgelost worden: zo is bijvoorbeeld de getekende oplossing van de GDV met beginwaarde $y(0)=1$ gelijk aan $\displaystyle y(t)=\frac{2}{1+e^{-t}}.$
Experimenteer met de oplossingskromme en bestudeer hoe de lijnelementen lopen in het lijnelementenveld om achter het gedrag van de oplossingskromme te komen.

0,0

segment length =

separation =

xmin =

xmax =

ymin =

ymax =

Px =

Py =

0,0

Met wat experimenteren kom je er achter dat in dit voorbeeld voor $y(0)\gt 2$ , de oplossingskromme de grafiek van een dalende functie is en steeds vlakker loopt in de richting van de lijn met vergelijking $y=2.$

Als $y(0)=2$ , dan is de oplossingskromme een horizontale lijn omdat de bijpassende functie constant is. Men spreekt van een stationaire toestand, stabiele toestand of een evenwichtstoestand.

Als $0\lt y(0)\lt 2$ , dan is de oplossingskromme de grafiek van een stijgende functie die in beide richtingen steeds vlakker gaat lopen en dichter bij de horizontale lijnen $y=0$ en $y=2$ uitkomt. Men zegt dat de evenwichtstoestand $y=2$ een aantrekkend evenwicht is omdat elke oplossingskromme die hier dicht genoeg bij ligt in de loop van de tijd naar het evenwicht gaat.

Een negatieve startwaarde betekent een dalende oplossingskromme die steeds verder wegloopt van de horizontale as. De evenwichtstoestand $y=0$ is een afstotend evenwicht omdat elke oplossingskromme die hier maar een klein beetje van afwijkt in de loop van de tijd van het evenwicht af gaat.

Nieuw voorbeeld