Het lijnelementenveld bij een differentiaalvergelijking en hierin getekende integraalkrommen geven vaak een aardig beeld van het gedrag van oplossingen van de differentiaalvergelijking. We illustreren dit aan de hand van logistische groei. In de volgende sectie gaan we dieper in op het gedrag van oplossingen.

Het groeimodel met exponentiële toename van een grootheid \(y\) gaat niet op als er een natuurlijke grens is. Voor de groei van een populatie kan dit bijvoorbeeld de beperkte hoeveelheid voedsel zijn. Een mogelijk betere beschrijving wordt dan gegeven door een model waarin de groefactor afneemt met de grootte van \(y\). Het eenvoudigste model gaat uit van een lineaire afname. Dit is het zogeheten logistische groeimodel, voorgesteld door de demograaf Pierre-François Verhulst om de populatiegroei bij hoge dichtheden tegen te gaan: \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot\left(1-\frac{y}{a}\right)\] waarbij \(r\) en \(a\) constanten ongelijk 0 zijn. De constante \(a\) wordt de draagkracht genoemd en \(r\) de intrinsieke groeicoëfficiënt. De oplossing van deze GDV met \(a=1\), \(r=1\) en beginwaarde \(y(0)=\tfrac{1}{2}\) wordt de logistische functie of genoemd sigmoïdefunctie. Deze functie, in formulevorm gelijk aan \(f(t)=\dfrac{1}{1+e^{-t}}\), en functies met eenzelfde S-vormige functiegrafiek worden veel gebruikt in biologische wetenschappen; bijvoorbeeld bij de studie van de groei van bacteriekolonies.