Integreren van een functie

Gewone differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen

Integreren van een functie

Oplossen van een GDV van de vorm dy/dt = f(t) Een directe toepassing van integreren is het oplossen van een gewone differentiaalvergelijking van het type

$\frac{\dd y}{\dd t}=f(t)$ voor een zekere functie $f(t)$ . De algemene oplossing van deze eerste-orde GDV krijg je door te primitiveren:

$y(t)=\int f(t)\,\dd t\tiny.$

Een nog suggestievere manier van opschrijven ontstaat door herschrijven van de differentiaalvergelijking in termen van differentialen:

$\dd y=f(t)\,\dd t\tiny.$ De variabelen $y$ en $t$ zijn nu gescheiden van elkaar: $dy$ staat links en alles met $t$ rechts. Links en rechts integreren levert nu op:

$\int \dd y=\int f(t)\,\dd t\quad \text{ofwel}\quad y = \int f(t)\,\dd t\tiny.$ De integratieconstanten afzonderlijk geven geen nieuwe oplossingen en kunnen daarom ondergebracht worden in één integratieconstante. Dit is in de laatste formule eigenlijk stiekem al gedaan.

Voorbeeld De eerste-orde GDV

$\frac{\dd y}{\dd t}=3t^2$ is in differentiaalnotatie gelijk aan

$\dd y=3t^2\,\dd t.$ De rechterkant van deze vergelijking is ook te schrijven als $\dd(t^3)$ want $t^3$ is een primitieve van $3t^2$ . We hebben dus een gelijkheid tussen twee differentialen:

$\dd y=\dd(t^3).$ De functies ‘achter de d's’ zijn dus op een constante na aan elkaar gelijk:

$y=t^3+c$ voor zekere constante $c$ .

Je kunt natuurlijk ook gewoon links en rechts in de relatie

$\dd y=3t^2\,\dd t$ integratie toepassen; dan krijg je

$\int \dd y=\int 3t^2\,\dd t$ en de linker- en rechterkant zijn respectievelijk gelijk aan $y$ en $t^3$ op een integratieconstante na.

Algemene oplossingsmethode voor een beginwaardeprobleem Als je een beginwaardeprobleem

$\frac{\dd y}{\dd t}=f(t),\quad y(t_0)=y_0$ voor een zekere functie $f(t)$ en parameters $t_0$ en $y_0$ hebt, dan kun je ook werken met integratiegrenzen om tot de oplossing van het beginwaardeprobleem te komen:

$\int_{y_0}^{y(t)}\dd \eta=\int_{t_0}^t f(\tau)\,\dd \tau$ oftewel

$y(t) = y_0+ \int_{t_0}^t f(\tau)\,\dd \tau$