Oplossingen door scheiding van variabelen

Gewone differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen

Oplossingen door scheiding van variabelen

N.a.v. de hiervoor besproken methode van integreren van een wiskundige functie, vraag je je misschien af of er meer eerste-orde GDVs zijn die je kunt herleiden tot een gelijkheid van differentialen. Het antwoord op deze vraag is bevestigend.

Oplossen van een separeerbare differentiaalvergelijking De algemene oplossing van \[\frac{\dd y}{\dd t}=\frac{f(t)}{g(y)}\] voldoet aan de gelijkheid \[G(y)=F(t)+c\] met \(F(t)\) een primitieve van \(f(t)\), \(G(y)\) een primitieve van \(g(y)\) en \(c\) een constante.

Stel \(f(t)\) en \(g(y)\) zijn functies respectievelijk met primitieven \(F(t)\) en \(G(y)\). De differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t} = \frac{f(t)}{g(y)}\] is in differentiaalnotatie te schrijven als \[g(y)\,\dd y = f(t)\,\dd t\] en is dan equivalent met \[d\bigl(G(y)\bigr) = d\bigl(F(t)\bigr)\] Hieruit volgt dat \[G(y)=F(t)+c\] voor zekere constante \(c\).

Impliciete en explicite oplossingen Deze stelling levert dus in het algemeen niet een oplossing van de GDV in expliciete vorm \(y(t)=\ldots\) op, maar een verband tussen de variabelen \(y\) en \(t\). Soms heb je geluk en kan uit deze gevonden impliciete oplossing van een GDV een expliciete oplossing afgeleid worden.

Naamgeving Omdat een belangrijke stap in het oplossen van de GDV bestaat uit het herschrijven van de differentiaalvergelijking in differentiaalnotatie \(g(y)\,\dd y = f(t)\,\dd t\) met gescheiden uitdrukkingen in \(y\) en \(t\) noemt men in dit geval de oplossingsstrategie de methode van scheiden van variabelen en spreekt men van een separeerbare differentiaalvergelijking.

Enkele voorbeelden illustreren het oplossen van differentiaalvergelijkingen door scheiding van variabelen.