Toepassing: afkoeling en opwarming

Gewone differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen

Toepassing: afkoeling en opwarming

We bekijken een toepassing van de methode van scheiden van variabelen en de studie van het asymptotisch gedrag van oplossingen

In de context van het model van Newton voor het temperatuursverloop $T$ van een voorwerp in een omgeving met constante temperatuur $T_\text{omg}$ hebben we

$\frac{\dd T}{\dd t}=-c\cdot \left(T-T_\text{omg}\right)$ met $c\gt 0$ een constante, en is het asymptotisch gedrag van de oplossing niet zo vreemd. Natuurlijk verwacht je dat het voorwerp na verloop van tijd een temperatuur gelijk aan de omgevingstemperatuur aanneemt. Als de starttemperatuur $T(0)=T_0$ kleiner is dan de omgevingstemperatuur $T_\text{omg}$ , dan loopt de temperatuur $T$ langzaam op naar $T_\text{omg}$ volgens de formule

$T(t)=T_\text{omg}+\left(T_0-T_\text{omg}\right) e^{-c\, t}$ Dezelfde formule betekent dat bij een starttemperatuur $T_0$ groter dan de omgevingstemperatuur, de temperatuur van het voorwerp exponentieel afneemt en de omgevingstemperatuur nadert.

De formule voor de oplossing van de differentiaalvergelijking kun je m.b.v. scheiden van variabelen vinden. Eerst herschrijven we de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm met gescheiden variabelen:

$\frac{\dd T}{T-T_\text{omg}}=-c\,\dd t$ Vervolgens integreren we:

$\int_{T_0}^{T(t)}\frac{\dd T}{T-T_\text{omg}}=\int_0^t-c\,\dd t$ We werken de integralen uit:

$\Bigl[\ln|T(t)-T_\text{omg}|\Bigr]_{T_0}^{T(t)}=\Bigl[-c\cdot t\Bigr]_0^t$ Dus:

$\ln|T(t)-T_\text{omg}|-\ln|T_0-T_\text{omg}|=-c\cdot t$ oftewel

$\ln\left|\frac{T(t)-T_\text{omg}}{T_0-T_\text{omg}}\right|=-c\cdot t$ We trekken de stoute schoenen aan en schrijven:

$\frac{T(t)-T_\text{omg}}{T_0-T_\text{omg}}=e^{-c\cdot t}$ Dus:

$T(t)-T_\text{omg}=\left(T_0-T_\text{omg}\right)\cdot e^{-c\cdot t}$ oftewel

$T(t)=T_\text{omg}+\left(T_0-T_\text{omg}\right)\cdot e^{-c\cdot t}$