We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm: \[\dd y-p\cdot y\,\dd t=q\cdot t\,\dd t\] Vermenigvuldigen van deze gelijkheid link en rechts met \(e^{-p\, t}\) levert op: \[e^{-p\, t}\,\dd y-p\cdot e^{-p\, t}\cdot y\,\dd t=q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t\] Met de productregel van differentialen kan het linkerlid vereenvoudigd worden en volgt: \[\dd\left(e^{-p\, t}\cdot y\right)=q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t\] Dus: \[e^{-p\, t}\,y=\int q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t=q\cdot\int t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t \] De integraal aan de rechterkant kan d.m.v. partiële integratie uitgerekend worden: \[\begin{aligned} \int t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t &=\int t\cdot\left(-\frac{1}{p}e^{-p\, t}\right)'\,\dd t\\ \\ &=t\cdot\left(-\frac{1}{p}\cdot e^{-p\, t}\right)-\int (t)'\cdot\left(-\frac{1}{p}\cdot e^{-p\, t}\right)\,\dd t\\ \\ &=-\frac{t}{p}\cdot e^{-p\, t}+\frac{1}{p}\cdot \int e^{-p\, t}\,\dd t\\ \\ &=-\frac{t}{p}\cdot e^{-p\, t}-\frac{1}{p^2}\cdot e^{-p\, t}+c\\ \end{aligned}\] voor zekere constante \(c\). We kunnen hiermee de oplossing van de GDV opschrijven als \[y=c\cdot e^{\,p\, t}-\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}\] Merk op dat de oplossing gelijk is aan de som van de specifieke oplossing \(\displaystyle y=-\frac{q}{r}\cdot t-\frac{q}{p^2}\) en de algemene oplossing \(y=c\cdot e^{\,p\, t}\) van de homogene vergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=p\cdot y.\)

In het geval van een homogenene eerste-orde lineaire GDV \(y'=p(t)\cdot y\) is de functie \(\e^{-P(t)}\), waarbij \(P(t)\) een primitieve functie van \(p(t)\) is, een integrerende factor: als we de differentiaalvorm \[\dd y-p(t)\cdot y\,\dd t=0\] met deze factor vermenigvuldigen dan kan \[\e^{-P(t)}\,\dd y-\e^{-P(t)}\cdot p(t)\cdot y\,\dd t = 0\] herschreven worden als \[\dd\left(\e^{-P(t)}\cdot y\right) = 0\] Dus: \(\e^{-P(t)}\cdot y = c\), voor zekere integratieconstante \(c\). De algemene oplossing is dus \[ y = \e^{P(t)}\cdot C\]