We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm: $$\dd y-p\cdot y\,\dd t=q\cdot t\,\dd t$$ Vermenigvuldigen van deze gelijkheid link en rechts met $e^{-p\, t}$ levert op: $$e^{-p\, t}\,\dd y-p\cdot e^{-p\, t}\cdot y\,\dd t=q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t$$ Met de productregel van differentialen kan het linkerlid vereenvoudigd worden en volgt: $$\dd\left(e^{-p\, t}\cdot y\right)=q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t$$ Dus: $$e^{-p\, t}\,y=\int q\cdot t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t=q\cdot\int t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t$$ De integraal aan de rechterkant kan d.m.v. partiële integratie uitgerekend worden: $$\begin{aligned} \int t\cdot e^{-p\, t}\,\dd t &=\int t\cdot\left(-\frac{1}{p}e^{-p\, t}\right)'\,\dd t\\ \\ &=t\cdot\left(-\frac{1}{p}\cdot e^{-p\, t}\right)-\int (t)'\cdot\left(-\frac{1}{p}\cdot e^{-p\, t}\right)\,\dd t\\ \\ &=-\frac{t}{p}\cdot e^{-p\, t}+\frac{1}{p}\cdot \int e^{-p\, t}\,\dd t\\ \\ &=-\frac{t}{p}\cdot e^{-p\, t}-\frac{1}{p^2}\cdot e^{-p\, t}+c\\ \end{aligned}$$ voor zekere constante $c$. We kunnen hiermee de oplossing van de GDV opschrijven als $$y=c\cdot e^{\,p\, t}-\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}$$ Merk op dat de oplossing gelijk is aan de som van de specifieke oplossing $\displaystyle y=-\frac{q}{r}\cdot t-\frac{q}{p^2}$ en de algemene oplossing $y=c\cdot e^{\,p\, t}$ van de homogene vergelijking $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=p\cdot y.$

In het geval van een homogenene eerste-orde lineaire GDV $y'=p(t)\cdot y$ is de functie $\e^{-P(t)}$, waarbij $P(t)$ een primitieve functie van $p(t)$ is, een integrerende factor: als we de differentiaalvorm $$\dd y-p(t)\cdot y\,\dd t=0$$ met deze factor vermenigvuldigen dan kan $$\e^{-P(t)}\,\dd y-\e^{-P(t)}\cdot p(t)\cdot y\,\dd t = 0$$ herschreven worden als $$\dd\left(\e^{-P(t)}\cdot y\right) = 0$$ Dus: $\e^{-P(t)}\cdot y = c$, voor zekere integratieconstante $c$. De algemene oplossing is dus $$y = \e^{P(t)}\cdot C$$