Dit resultaat kan door een slimme substitutie ook gebruikt worden om de differentiaalvergelijking van logistische groei

$$\frac{dy}{dt}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right),\quad y(0)=\alpha$$ met $r$ en $a$ positieve constanten en $-\infty<\alpha<\infty$ op te lossen:
substitutie van $y=\frac{1}{u}$ in het beginwaardeprobleem $$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot (1-\frac{y}{a}),\quad y(0)=\alpha$$ met $r$ en $a$ positieve constanten en $-\infty<\alpha<\infty$, geeft achtereenvolgens: $$\begin{aligned} \frac{\dd\left(\dfrac{1}{u}\right)}{\dd t} &= r\cdot\left(\dfrac{1}{u}\right)\cdot\left(1-\dfrac{\dfrac{1}{u}}{a}\right) \qquad\phantom{\implies} \\ \\ -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{\dd u}{\dd t}&=r\,\frac{1}{u}\left(1-\dfrac{1}{a\,u}\right) \qquad\qquad\;\; \phantom{\implies}\\ \\ \dfrac{\dd u}{\dd t} &= r\cdot\left(\dfrac{1}{a}-u\right)\qquad (\text{na vermenigvulding met }-u^2) \end{aligned}$$ De algemene oplossing is $$u(t)=\frac{1}{a}+c\cdot e^{-r\cdot t}$$ met $c$ een constante die bepaald wordt door de beginwaarde $u(0)=\frac{1}{y(0)}=\frac{1}{\alpha}$.
Er moet gelden voor $t=0$: $$\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{a}+c$$ Dus: $$\begin{aligned} u(t) &= \frac{1}{a}+\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{a}\right)\cdot e^{-r\cdot t}\\ {} &= \frac{1}{a\cdot \alpha}\left(\alpha+(a-\alpha)\cdot e^{-r\cdot t}\right) \end{aligned}$$ Maar dan geldt ook: $$y(t) = \frac{a\cdot \alpha}{\alpha+(a-\alpha)\cdot e^{-r\cdot t}}$$ oftewel $$y(t) = \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right)\cdot e^{-r\cdot t}}$$ We hebben dus onderstaande bewering afgeleid.

De logistische differentiaalvergelijking kan overigens ook opgelost worden door scheiden van variabelen.