De eerste-orde GDV \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot (a-y)\] voor positieve \(r\) en \(a\) is in differentiaalnotatie te herleiden tot \[\frac{1}{y-a}\,\dd y=-r\,\dd t\tiny.\] De linker- en rechterkant zijn respectievelijk te schrijven als \(\dd\bigl(\ln(|y-a|)\bigr)\) en \(\dd(r\, t)\). We hebben dus de volgende gelijkheid tussen twee differentialen: \[\dd\bigl(\ln(|y-a|)\bigr)=\dd(-r\cdot t)\] De functies ‘achter de d's’ zijn dus op een constante na aan elkaar gelijk: \[\ln(|y-a|)=-r\cdot t+C\] voor zekere constante \(C\). Er geldt dus: \[|y-a| =e^{-r\cdot t+C}=e^C\cdot e^{r\cdot t}=c\cdot e^{-r\cdot t}\] voor zekere constante \(c\gt 0\). Wegwerken van de absoluutstrepen leidt tot de expliciete oplossing (waarbij we een minteken in de formule introduceren om uit te komen op de standaarddefinitie van de begrensde exponentiële functie): \[y=a-c\cdot e^{-r\cdot t}\] voor zekere constante \(c\). Nota bene, ook voor negative \(r\) en \(a\) is de bewering juist, maar het is in natuurwetenschappen een goed gebruik om parameters positieve waarden te laten hebben en zo nodig mintekens expliciet neer te schrijven. Met andere woorden:
De algemene oplossing van \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\, \bigl(a-y\bigr)\] voor positieve \(r\) en \(a\) is \[y(t)=a-c\,e^{-r\, t}\] waarbij \(c\) een constante is.
Dit resultaat kan door een slimme substitutie ook gebruikt worden om de differentiaalvergelijking van logistische groei \[\frac{dy}{dt}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right),\quad y(0)=\alpha\] met \(r\) en \(a\) positieve constanten en \(-\infty<\alpha<\infty\) op te lossen:
substitutie van \(y=\frac{1}{u}\) in het beginwaardeprobleem \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot (1-\frac{y}{a}),\quad y(0)=\alpha\] met \(r\) en \(a\) positieve constanten en \(-\infty<\alpha<\infty\), geeft achtereenvolgens: \[\begin{aligned} \frac{\dd\left(\dfrac{1}{u}\right)}{\dd t} &= r\cdot\left(\dfrac{1}{u}\right)\cdot\left(1-\dfrac{\dfrac{1}{u}}{a}\right) \qquad\phantom{\implies} \\ \\ -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{\dd u}{\dd t}&=r\,\frac{1}{u}\left(1-\dfrac{1}{a\,u}\right) \qquad\qquad\;\; \phantom{\implies}\\ \\ \dfrac{\dd u}{\dd t} &= r\cdot\left(\dfrac{1}{a}-u\right)\qquad (\text{na vermenigvulding met }-u^2) \end{aligned}\] De algemene oplossing is \[u(t)=\frac{1}{a}+c\cdot e^{-r\cdot t}\] met \(c\) een constante die bepaald wordt door de beginwaarde \(u(0)=\frac{1}{y(0)}=\frac{1}{\alpha}\).
Er moet gelden voor \(t=0\): \[\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{a}+c\] Dus: \[\begin{aligned} u(t) &= \frac{1}{a}+\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{a}\right)\cdot e^{-r\cdot t}\\ {} &= \frac{1}{a\cdot \alpha}\left(\alpha+(a-\alpha)\cdot e^{-r\cdot t}\right) \end{aligned}\] Maar dan geldt ook: \[y(t) = \frac{a\cdot \alpha}{\alpha+(a-\alpha)\cdot e^{-r\cdot t}}\] oftewel \[y(t) = \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right)\cdot e^{-r\cdot t}}\] We hebben dus onderstaande bewering afgeleid.
De algemene oplossing van het beginwaardeprobleem \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right),\quad y(0)=\alpha\] met \(r\) en \(a\) positieve constanten en \(-\infty<\alpha<\infty\), is \[y(t) = \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right) e^{-r\, t}}\]
De logistische differentiaalvergelijking kan overigens ook opgelost worden door scheiden van variabelen.
Voorbeeld 3: begrensde exponentiële groei
