Gewone differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen
Voorbeeld 4: logistische groei
De eerste-orde GDV \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)\] voor positieve \(r\) en \(a\) is in differentiaalnotatie te herleiden tot: \[\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y=-r\,\dd t\] De linker- en rechterkant primitiveren we en dat levert op: \[\int\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y=-r \int \dd t\] Een primitieve van de integraal aan de rechterkant is \(-r\cdot t\). De integraal aan de linkerkant is via breuksplitsing uit te rekenen: de breuk aan de integrand kunnen we splitsen (ga dit na!) als \[\frac{a}{y\, (y-a)}=\frac{1}{y-a}-\frac{1}{y}\] Hiermee vinden we: \[\int\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y = \ln|y-a|-\ln|y| + C=\ln\left|\frac{y-a}{y}\right|+ C\] Gelijkstellen van de twee primitieven levert op na wat algebraïsche manipulatie: \[\frac{y-a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t}\] voor zekere constante \(c\). Waarom het handig is een minteken te plaatsen in het rechterlid wordt duidelijk als we de variabele \(y\) isoleren: \[\begin{aligned} \frac{y-a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t} &\implies 1-\frac{a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t} \\ \\ &\implies \frac{a}{y} = 1+ c\cdot e^{-r\cdot t}\\ \\ &\implies y = \frac{a}{1+ c\cdot e^{-r\cdot t}}\end{aligned}\] We hebben nu het klassieke functievoorschrift van een logistische functie bereikt.
De constante \(c\) volgt uit een beginvoorwaarde: als \(y(0)=\alpha\) dan \(\alpha=\dfrac{a}{1+c}\) oftewel \(c\,\alpha = a-\alpha\) (ga dit na!) en dus: \[\begin{aligned}y &= \frac{a}{1+c\cdot e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a\cdot \alpha }{\alpha+c\cdot \alpha\cdot e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a\cdot\alpha}{\alpha+(a-\alpha)e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right)e^{-r\cdot t}}\end{aligned}\]
We hebben dus onderstaande bewering afgeleid.
De algemene oplossing van het beginwaardeprobleem \[\frac{\dd y}{dt}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right),\quad y(0)=\alpha\] met \(r\) en \(a\) positieve constanten en \(-\infty<\alpha<\infty\), is \[y(t) = \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right)\, e^{-r\,t}}\]