De eerste-orde GDV $$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)$$ voor positieve $r$ en $a$ is in differentiaalnotatie te herleiden tot: $$\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y=-r\,\dd t$$ De linker- en rechterkant primitiveren we en dat levert op: $$\int\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y=-r \int \dd t$$ Een primitieve van de integraal aan de rechterkant is $-r\cdot t$. De integraal aan de linkerkant is via breuksplitsing uit te rekenen: de breuk aan de integrand kunnen we splitsen (ga dit na!) als $$\frac{a}{y\, (y-a)}=\frac{1}{y-a}-\frac{1}{y}$$ Hiermee vinden we: $$\int\frac{a}{y\, (y-a)}\,\dd y = \ln|y-a|-\ln|y| + C=\ln\left|\frac{y-a}{y}\right|+ C$$ Gelijkstellen van de twee primitieven levert op na wat algebraïsche manipulatie: $$\frac{y-a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t}$$ voor zekere constante $c$. Waarom het handig is een minteken te plaatsen in het rechterlid wordt duidelijk als we de variabele $y$ isoleren: $$\begin{aligned} \frac{y-a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t} &\implies 1-\frac{a}{y}=-c\cdot e^{-r\cdot t} \\ \\ &\implies \frac{a}{y} = 1+ c\cdot e^{-r\cdot t}\\ \\ &\implies y = \frac{a}{1+ c\cdot e^{-r\cdot t}}\end{aligned}$$ We hebben nu het klassieke functievoorschrift van een logistische functie bereikt.

De constante $c$ volgt uit een beginvoorwaarde: als $y(0)=\alpha$ dan $\alpha=\dfrac{a}{1+c}$ oftewel $c\,\alpha = a-\alpha$ (ga dit na!) en dus: $$\begin{aligned}y &= \frac{a}{1+c\cdot e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a\cdot \alpha }{\alpha+c\cdot \alpha\cdot e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a\cdot\alpha}{\alpha+(a-\alpha)e^{-r\cdot t}}\\ \\ &= \frac{a}{1+\left(\dfrac{a}{\alpha}-1\right)e^{-r\cdot t}}\end{aligned}$$

We hebben dus onderstaande bewering afgeleid.