Gewone differentiaalvergelijkingen: Gebruik van een integrerende factor
Bekende voorbeelden van gebruik van een integrerende factor
We hebben eerder de algemene oplossing van een exponentieel groeimodel bepaald via scheiden van variabelen. Er bestaan evenwel andere methoden voor het oplossen van GDVs, bijvoorbeeld d.m.v. een zogenaamde integrerende factor. We zijn deze methode van oplossen van differentiaalvergelijkingen al een paar keer tegengekomen, ook voor de GDV van exponentiële groei. We herhalen hier de aanpak.
Exponentiële groei De eerste-orde GDV \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y\] met \(r\) een constante ongelijk aan 0 is in differentiaalnotatie te herleiden tot \[\dd y-r\,y\,\dd t=0\] We trekken de stoute schoenen aan en vermenigvuldigen deze gelijkheid links en rechts met \(e^{-r\,t}\): \[e^{-r\,t}\,\dd y-re^{-r\,t}\,y\,\dd t=0\] Aan de ene kant is het linkerlid ingewikkelder geworden, maar aan de andere kant ook weer niet: via de productregel van differentialen staat er de volgende vergelijking: \[d\left(e^{-r\,t}\,y\right)=0.\] Als een differentiaal van een functie gelijk is aan 0, dan is de functie constant. Dus: \[e^{-r\,t}\,y=c,\] voor een zekere constante \(c\). Dit resultaat kan herschreven worden als \[y=c\,e^{r\,t}.\]
De meest cruciale stap in bovenstaande aanpak was het vermenigvuldigen met de uitdrukking \(e^{-r\,t}\) zodat de linkerkant van de GDV herleid kan worden tot een differentiaal van een functie. De vermenigvuldigingsfactor heet een integrerende factor. Het is een tak van sport om zo'n integrerende factor op te sporen.
Begrensde exponentiële groei De eerste-orde GDV \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y+s\] met \(r\) en \(s\) constanten ongelijk aan 0 is in differentiaalnotatie te herleiden tot \[\dd y-r\,y\,\dd t=s\,\dd t\] Vermenigvuldigen van deze gelijkheid links en rechts met \(e^{-r\,t}\) levert op: \[e^{-r\,t}\,\dd y-re^{-r\,t}\,y\,\dd t=s\,e^{-r\,t}\,\dd t\] Hier staat volgens de productregel van differentialen niets anders dan de vergelijking \[\dd\left(e^{-r\,t}\,y\right)=s\,e^{-r\,t}\,\dd t\] Dus: \[e^{-r\,t}\,y=\int s\,e^{-r\,t}\,\dd t=-\frac{s}{r}e^{-r\,t}+c\] voor zekere constante \(c\). Dit resultaat kan herschreven worden als \[y=c\,e^{r\,t}-\frac{s}{r}\] Merk op dat deze oplossing gelijk is aan de som van de evenwichtsoplossing \(y(t)=-\frac{s}{r}\) en de algemene oplossing \(y=c\,e^{r\,t}\) van de homogene vergelijking \(\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y\).
