Exponentiële groei De eerste-orde GDV

$$\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y$$ met $r$ een constante ongelijk aan 0 is in differentiaalnotatie te herleiden tot $$\dd y-r\,y\,\dd t=0$$ We trekken de stoute schoenen aan en vermenigvuldigen deze gelijkheid links en rechts met $e^{-r\,t}$: $$e^{-r\,t}\,\dd y-re^{-r\,t}\,y\,\dd t=0$$ Aan de ene kant is het linkerlid ingewikkelder geworden, maar aan de andere kant ook weer niet: via de productregel van differentialen staat er de volgende vergelijking: $$d\left(e^{-r\,t}\,y\right)=0.$$ Als een differentiaal van een functie gelijk is aan 0, dan is de functie constant. Dus: $$e^{-r\,t}\,y=c,$$ voor een zekere constante $c$. Dit resultaat kan herschreven worden als $$y=c\,e^{r\,t}.$$

Begrensde exponentiële groei De eerste-orde GDV

$$\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y+s$$ met $r$ en $s$ constanten ongelijk aan 0 is in differentiaalnotatie te herleiden tot $$\dd y-r\,y\,\dd t=s\,\dd t$$ Vermenigvuldigen van deze gelijkheid links en rechts met $e^{-r\,t}$ levert op: $$e^{-r\,t}\,\dd y-re^{-r\,t}\,y\,\dd t=s\,e^{-r\,t}\,\dd t$$ Hier staat volgens de productregel van differentialen niets anders dan de vergelijking $$\dd\left(e^{-r\,t}\,y\right)=s\,e^{-r\,t}\,\dd t$$ Dus: $$e^{-r\,t}\,y=\int s\,e^{-r\,t}\,\dd t=-\frac{s}{r}e^{-r\,t}+c$$ voor zekere constante $c$. Dit resultaat kan herschreven worden als $$y=c\,e^{r\,t}-\frac{s}{r}$$ Merk op dat deze oplossing gelijk is aan de som van de evenwichtsoplossing $y(t)=-\frac{s}{r}$ en de algemene oplossing $y=c\,e^{r\,t}$ van de homogene vergelijking $\frac{\dd y}{\dd t}=r\,y$.