Een inhomogene eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking

Gewone differentiaalvergelijkingen: Gebruik van een integrerende factor

Een inhomogene eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking

We bekijken de algemene eerste-orde lineaire inhomogene differentiaalvergelijking $y'(t)=a(t)\cdot y(t)+b(t)$ Dit betekent dat de GDV

orde 1 heeft omdat alleen de eerste afgeleide $y'(t)$ erin voor komt;
lineair is vanwege de lineaire vorm waarin $y$ en $y'$ voorkomen;
inhomogeen is als $b(t)\neq 0$ .

Stel nu dat $A(t)$ een primitieve van $a(t)$ is (deze bestaat als $a(t)$ continu op een gesloten interval is).
Dan is $e^{-A(t)}$ een integrerende factor.

Stel dat $a(t)$ en $b(t)$ continue functies zijn ongelijk aan de nulfunctie en stel dat $A(t)$ een primitieve functie van $a(t)$ is. Dan is de algemene oplossing van de GDV $y'(t)=a(t)\cdot y(t)+b(t)$ gelijk aan $y(t)=e^{A(t)}\cdot (F(t)+c)$ waarbij $F(t)$ een primitieve is van $e^{-A(t)}\cdot b(t)$ en $c$ een integratieconstante is.

We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in de vorm $y'(t) -a(t)\cdot y(t)=b(t)$ Linker- en rechterkant met de integrerende factor $e^{-A(t)}$ vermenigvuldigen geeft: $e^{-A(t)}\cdot y'(t) - e^{-A(t)}\cdot a(t)\cdot y(t) = e^{-A(t)}\cdot b(t)$ Met de productregel en kettingregel van differentiëren kan het linkerlid vereenvoudigd worden en volgt: $\left( e^{-A(t)}\cdot y(t)\right)' =e^{-A(t)}\cdot b(t)$ Stel nu dat $F(t)$ een primitieve van $e^{-A(t)}\cdot b(t)$ , dan geldt d.m.v. integreren: $e^{-A(t)}\cdot y(t) = F(t) + c$ met $c$ een nog onbekende constante. Omschrijven geeft als algemene oplossing $y(t)=e^{A(t)}\cdot (F(t)+c)$ Ook nu geldt weer dat de oplossing van de GDV gelijk is aan de som van de specifieke oplossing $\displaystyle y=e^{A(t)}\cdot F(t)$ en de algemene oplossing $y=c\cdot e^{A(t)}$ van de homogene vergelijking $\displaystyle\frac{dy}{dt}=a(t)\cdot y\tiny.$

De keuze van $c$ in de oplossing van de GDV hangt af van de beginwaarde $y(t_0)=y_0$ : $c= e^{-A(t_0)}\cdot y_0 - F(t_0)$