We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in de vorm \[y'(t) -a(t)\cdot y(t)=b(t)\] Linker- en rechterkant met de integrerende factor \(e^{-A(t)}\) vermenigvuldigen geeft: \[e^{-A(t)}\cdot y'(t) - e^{-A(t)}\cdot a(t)\cdot y(t) = e^{-A(t)}\cdot b(t)\] Met de productregel en kettingregel van differentiëren kan het linkerlid vereenvoudigd worden en volgt: \[\left( e^{-A(t)}\cdot y(t)\right)' =e^{-A(t)}\cdot b(t)\] Stel nu dat \(F(t)\) een primitieve van \(e^{-A(t)}\cdot b(t)\), dan geldt d.m.v. integreren: \[ e^{-A(t)}\cdot y(t) = F(t) + c\] met \(c\) een nog onbekende constante. Omschrijven geeft als algemene oplossing \[y(t)=e^{A(t)}\cdot (F(t)+c)\] Ook nu geldt weer dat de oplossing van de GDV gelijk is aan de som van de specifieke oplossing \(\displaystyle y=e^{A(t)}\cdot F(t)\) en de algemene oplossing \(y=c\cdot e^{A(t)}\) van de homogene vergelijking \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=a(t)\cdot y\tiny.\)

De keuze van \(c\) in de oplossing van de GDV hangt af van de beginwaarde \(y(t_0)=y_0\): \[c= e^{-A(t_0)}\cdot y_0 - F(t_0)\]