Gewone differentiaalvergelijkingen: Lijnelementenveld en oplossingskrommen
De voorwaartse Euler methode
Voorwaartse Euler methode De meetkundige aanpak van het oplossen van een dynamisch systeem van eerste orde van de vorm \[\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)\] met beginwaarde \[y(t_0)=y_0\] via een lijnelementenveld, volgens het motto 'ga met de stroom mee, leidt tot de voorwaartse Euler methode voor het bepalen van een numerieke oplossing van een GDV.
Stel dat \((t_0, y_0)\) een punt op de oplossingskromme is.
Stel nu dat je de oplossing op tijdstip \(t_1=t_0+dt\) wilt weten voor een zekere tijdstap \(dt\).
Als \(dt\) klein is kun je de grafiek van de functie in de buurt van \((t_0, y_0)\) benaderen met de raaklijn \(y=y_0+y'(t_0)\cdot (t-t_0)=y_0+\varphi(t_0,y_0)\cdot (t-t_0)\).
Dan geldt voor \(t_1=t_0+dt\) dat we \(y(t_1)\) kunnen benaderen met \(y(t_1)\approx y_1= y_0+\varphi(t_0,y_0)\cdot dt\).
Dit spel kunnen we herhalen met tijdstip \(t_2=t_1+dt\) en \(\bigl(t_1, y_1\bigr)\) als startpunt.
Dan: \(y(t_2)\approx y_2=y_1+\varphi(t_1,y_1)\cdot dt\).
Een nog een keer herhaald met tijdstip \(t_3=t_2+dt\) en \(\bigl(t_2, y_2\bigr)\) als startpunt.
Dan: \(y(t_3)\approx y_3=y_2+\varphi(t_2,y_2)\cdot dt\).
Zo kun je verder gaan: \[t_k=t_0+k\cdot dt\quad\text{en}\quad y_{k+1}=y_k+\varphi(t_k,y_k)\cdot dt\text{,}\qquad\text{voor }k=0,1,2,3,\ldots\]
Onderstaande figuur laat zien hoe de benaderingen weliswaar afwijken van de echte oplossingskromme, maar voor kleine stapjes \(dt\) zal de fout beperkt blijven.
In onderstaande figuur zijn de zo berekende functiewaarden voor het beginwaardeprobleem \(\frac{dy}{dt}=-0.7y,\; y(0)=6\) in een lijngrafiek te zien voor een stapgrootte \(dt=1\).
Formule \(\eta_{k+1}=\eta_k+\varphi(t_k,\eta_k)\cdot dt\) is in dit specifieke geval gelijk aan \[\eta_{k+1}=\eta_k+r\cdot \eta_k\cdot dt=\eta_k(1+r\cdot dt)=\eta_0(1+r\cdot dt)^{k+1}\] met \(r=-0.7, \eta_0=6\). De exacte oplossing van dit beginwaardeprobleem is \(y(t)=6e^{-0.7t}\).
Naarmate de stapgrootte \(dt\) kleiner is in de Euler methode, wordt de grafiek van de berekende functiewaarden gladder en begint deze steeds meer op de grafiek van een exacte oplossing te lijken.