We bekijken de volgende aaneenschakeling van twee eerste-orde chemische reacties: \[A\stackrel{k_{1}}{\longrightarrow}B\stackrel{k_{2}}{\longrightarrow}C\] De concentraties van de chemische stoffen \(A\), \(B\) en \(C\) noteren we kort als \(a(t)\), \(b(t)\) en \(c(t)\). We veronderstellen eerste-orde reacties zijn met respectievelijk reactiesnelheidsconstanten \(k_{1}\) en \(k_{2}\). De verandering van \(a(t)\) wordt dan bepaald door de afname t.g.v de eerste reactie. De verandering van \(b(t)\) wordt bepaald door de toename t.g.v de eerste reactie en de afname t.g.v. de tweede reactie. De verandering van \(c(t)\) wordt bepaald door de toename t.g.v de twee reactie. We krijgen de volgende drie vergelijkingen: \[\begin{aligned} a'(t)&=-k_{1}\,a(t)\\ b'(t)&=k_{1}\,a(t)- k_{2}\,b(t)\\ c'(t)&=k_{2}\,b(t) \end{aligned}\] In stapjes kan dit stelsel opgelost worden. Omdat \[a'(t)+b'(t)+c'(t)=0\] moet gelden dat \(a(t)+b(t)+c(t)\) constant is; de som van de concentraties van reagentia en product is constant. In het bijzonder geldt \[a(t)+b(t)+c(t)=a_0+b_0+c_0\] waarbij \(a_0=a(0)\), \(b_0=b(0)\) en \(c_0=c(0)\) beginconcentraties zijn. Vanwege deze relatie volstaat het dus om expliciete formules voor \(a(t)\) en \(b(t)\) te vinden. De eerste vergelijking is de GDV van exponentieel verval. Substitutie van de oplossing \(a(t)=a_0e^{-k_{1}t}\) in de tweede vergelijking geeft een oplosbare GDV voor \(b(t)\): \[\frac{\dd b}{\dd t}=k_{1}a_0e^{-k_{1}t}-k_{2}b(t)\] Deze differentiaalvergelijking kan m.b.v. een integrerende factor berekend worden. Hoe dit gaat hebben we eigenlijk al gezien in de beschrijving van eerste-orde kinetiek van een oraal toegediend medicijn. Dat was in principe namelijk hetzelfde wiskundige model, net zo goed als dit model bij natuurkunde ten tonele gevoerd wordt als moeder-dochter model voor radioactief verval; het enige verschil met het eerdere voorbeeld uit farmacokinetiek is dat we daarbij niet bijhielden waar het farmacon uiteindelijk naar toe geëlimineerd werd. We doen het desalniettemin dunnetjes over en zullen nu ook het geval \(k_1=k_2\) bespreken.

We schrijven eerst de GDV voor \(b(t)\) in differentiaalvorm: \[\dd b+k_2b\,\dd t = a_0k_1e^{-k_{1}t}\,\dd t\] Als integererende factor gebruiken we \(e^{k_2t}\) en dit geeft \[e^{k_2t}\dd b+k_2be^{k_2t}\,\dd t = a_0k_1e^{-k_{1}t}e^{k_2t}\,\dd t\] oftewel \[\dd\left(e^{k_2t}b\right)= a_0k_1e^{(k_2-k_1)t}\,\dd t\] Linker- en rechterkant integreren levert op \[e^{k_2t}b=a_0k_1\int e^{(k_2-k_1)t}\,\dd t= \begin{cases} \dfrac{a_0k_1}{k_2-k_1}e^{(k_2-k_1)t}+\gamma&\text{als }k_1\neq k_2\\ \\ a_0k_1t+\gamma &\text{als }k_1= k_2\end{cases}\] voor zekere constante \(\gamma\). Uit \(b(0)=b_0\) volgt: \[\gamma=\begin{cases}b_0-\dfrac{a_0k_1}{k_2-k_1}&\text{als }k_1\neq k_2\\ \\ b_0 &\text{als }k_1= k_2\end{cases}\] De oplossing voor \(b(t)\) is dus als volgt: \[b(t)=\begin{cases}\dfrac{a_0k_1}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)+b_0e^{-k_2t}&\text{als }k_1\neq k_2\\ \\ (a_0k_1t+b_0)e^{-k_2t} &\text{als }k_1= k_2\end{cases}\]