Inleiding

Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten

Inleiding

Tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen, die van belang zijn in natuurwetenschappen en techniek, kunnen geschreven worden in de vorm

$a(t)\cdot\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+c(t)\cdot y=f(t)$ Als $f(t)=0$ dan heet de GDV homogeen. De functies $a(t)$ , $b(t)$ en $c(t)$ heten coëfficiënten. Wanneer deze coëfficiënten constant zijn, dan kan de algemene oplossing in termen van elementaire functies uitgedrukt worden. Dit is het enige type van lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen dat we zullen behandelen, maar zelfs dan zijn de toepassingen al legio. Ter inspiratie beginnen we met het beroemdste voorbeeld van de zogenaamde mathematische slinger.

De mathematische slinger De algemene reële oplossing van de GDV

$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+\omega^2y=0$ met een reële parameter $\omega$ is

$y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ waarbij $A$ en $B$ constanten zijn, die in de meeste gevallen vastgelegd zijn als twee extra voorwaarden meegegeven worden. Dit zijn meestal twee functiewaarden zijn, of één keer een functiewaarde en één keer een afgeleide in een punt.

We bekijken de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking van de mathematische slinger

$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+\omega^2y=0$ waarbij $\omega$ een vast getal is. Je kunt proberen een oplossing te raden. Een geschikt gokje zou een oplossing van de vorm

$y(t)=e^{\lambda t}$ kunnen wezen, waarbij $\lambda$ een nog nader te bepalen constante is. Invullen in de GDV levert de volgende conditie voor $\lambda$ op:

$\lambda^2 + \omega^2=0$ Er zijn twee complexe oplossingen van deze vergelijking voor $\lambda$ : $\lambda=\mathrm{i}\,\omega$ en $\lambda=-\mathrm{i}\,\omega$ . Dus zijn $y_1(t)=e^{\mathrm{i}\,\omega\,t}$ en $y_2(t)=e^{-\mathrm{i}\,\omega\,t}$ complexe oplossingen van de gegeven GDV. Maar dan is elke lineaire combinatie $c_1\cdot y_1(t)+c_2\cdot y_2(t)$ (met constanten $c_1$ en $c_2$ ) ook een oplossing. Dit leidt tot twee reële oplossingen van de GDV, namelijk

$y_c(t)=\frac{e^{\,\mathrm{i}\,\omega\,t}+e^{-\mathrm{i}\,\omega\,t}}{2}=\cos(\omega t)$ en

$y_s(t)=\frac{e^{\,\mathrm{i}\,\omega\,t}-e^{-\mathrm{i}\,\omega\,t}}{2\mathrm{i}}=\sin(\omega t)$ Ook is elke lineaire combinatie van deze twee functies weer een oplossing van de GDV. Natuurlijk hadden ook gelijk de sinus- en cosinusfunctie met hoekfrequentie $\omega$ als oplossingen kunnen proberen, indachtig de standaardafgeleiden van goniometrische functies.

Het bewijs dat dit de enige oplossing van de differentiaalvergelijking is slaan we over, maar het lijkt een beetje op het bewijs van de tweede stelling op de theoriepagina.

De algemene reële oplossing van de GDV

$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}-\omega^2y=0$ is dus

$y(t)=A\cdot e^{\omega\,t}+B\cdot e^{-\omega\,t}$ waarbij $A$ en $B$ constanten zijn, die vastgelegd zijn als twee extra voorwaarden meegegeven worden. Dit zijn meestal twee functiewaarden zijn, of één keer een functiewaarde en één keer een afgeleide in een punt.

We bekijken de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking

$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}-\omega^2y=0$ waarbij $\omega$ een vast getal is. Net als bij de GDV van de mathematische slinger proberen we weer een oplossen te raden en gokken op een oplossing de vorm

$y(t)=e^{\lambda t}$ Invullen in de GDV levert de volgende conditie voor $\lambda$ op:

$\lambda^2 - \omega^2=0$ Er zijn twee oplossingen van deze vergelijking voor $\lambda$ : $\lambda=\omega$ en $\lambda=-\omega$ . Dus zijn $y_1(t)=e^{\omega\,t}$ en $y_2(t)=e^{-\omega\,t}$ oplossingen van de gegeven GDV. Maar dan is elke lineaire combinatie $c_1\cdot y_1(t)+c_2\cdot y_2(t)$ (met constanten $c_1$ en $c_2$ ) ook een oplossing.

Het bewijs dat dit de enige oplossing van de differentiaalvergelijking is komt neer op het bewijzen dat voor een oplossing van de vorm

$y(t)=z(t)\cdot e^{\omega t}$ moet gelden dat

$z'(t)+ 2\,\omega\, z(t) = c$ voor zekere constante $c$ . Dit is een kwestie van toepassen van rekenregels voor differentiëren en uitschrijven van wiskundige formules. De algemene oplossing van de laatste GDV kennen we:

$z(t)=A+B\cdot e^{-2\omega t}$ met $A=\dfrac{c}{2\omega}$ en $B$ willekeurig gekozen. Maar dan geldt:

$y(t)=A\cdot e^{\omega\,t}+B\cdot e^{-\omega\,t}$ waarbij $A$ en $B$ constanten zijn.