Tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen, die van belang zijn in natuurwetenschappen en techniek, kunnen geschreven worden in de vorm Als dan heet de GDV homogeen. De functies , en heten coëfficiënten. Wanneer deze coëfficiënten constant zijn, dan kan de algemene oplossing in termen van elementaire functies uitgedrukt worden. Dit is het enige type van lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen dat we zullen behandelen, maar zelfs dan zijn de toepassingen al legio. Ter inspiratie beginnen we met het beroemdste voorbeeld van de zogenaamde mathematische slinger.
De algemene reële oplossing van de GDV met een reële parameter is waarbij en constanten zijn, die in de meeste gevallen vastgelegd zijn als twee extra voorwaarden meegegeven worden. Dit zijn meestal twee functiewaarden zijn, of één keer een functiewaarde en één keer een afgeleide in een punt.
We bekijken de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking van de mathematische slinger waarbij een vast getal is. Je kunt proberen een oplossing te raden. Een geschikt gokje zou een oplossing van de vorm kunnen wezen, waarbij een nog nader te bepalen constante is. Invullen in de GDV levert de volgende conditie voor op: Er zijn twee complexe oplossingen van deze vergelijking voor : en . Dus zijn en complexe oplossingen van de gegeven GDV. Maar dan is elke lineaire combinatie (met constanten en ) ook een oplossing. Dit leidt tot twee reële oplossingen van de GDV, namelijk en Ook is elke lineaire combinatie van deze twee functies weer een oplossing van de GDV. Natuurlijk hadden ook gelijk de sinus- en cosinusfunctie met hoekfrequentie als oplossingen kunnen proberen, indachtig de standaardafgeleiden van goniometrische functies.
Het bewijs dat dit de enige oplossing van de differentiaalvergelijking is slaan we over, maar het lijkt een beetje op het bewijs van de tweede stelling op de theoriepagina.
De algemene reële oplossing van de GDV is dus waarbij en constanten zijn, die vastgelegd zijn als twee extra voorwaarden meegegeven worden. Dit zijn meestal twee functiewaarden zijn, of één keer een functiewaarde en één keer een afgeleide in een punt.
We bekijken de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking waarbij een vast getal is. Net als bij de GDV van de mathematische slinger proberen we weer een oplossen te raden en gokken op een oplossing de vorm Invullen in de GDV levert de volgende conditie voor op: Er zijn twee oplossingen van deze vergelijking voor : en . Dus zijn en oplossingen van de gegeven GDV. Maar dan is elke lineaire combinatie (met constanten en ) ook een oplossing.
Het bewijs dat dit de enige oplossing van de differentiaalvergelijking is komt neer op het bewijzen dat voor een oplossing van de vorm moet gelden dat voor zekere constante . Dit is een kwestie van toepassen van rekenregels voor differentiëren en uitschrijven van wiskundige formules. De algemene oplossing van de laatste GDV kennen we: met en willekeurig gekozen. Maar dan geldt: waarbij en constanten zijn.