Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten
Homogene lineaire GDVs met orde 2 en constante coëfficiënten
Een differentiaalvergelijking van de vorm \[a\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y=0\] waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) reële constanten zijn met \(a\neq 0\) heet een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten.
Evenzo hebben we \[y_2=e^{-t},\qquad \frac{\dd y_2}{dt}= - e^{-t},\qquad \frac{\dd^2y_2}{\dd t^2}=e^{-t}\] Dus: \[\frac{\dd^2y_2}{\dd t^2}+4\frac{\dd y_2}{\dd t}+3 y_2(t)= e^{-t} + 4\times -e^{-t}+ 3 e^{-t} = e^{-t}(1-4+3)=0\]
Karakteristieke vergelijking De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking van de vorm \[a\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y=0\] krijgen we door \(e\)-machten als oplossingen te proberen. Stel dat \[y(t)=e^{\lambda t}\] een oplossing is, dan geeft invullen in de GDV de gelijkheid \[a\,\lambda^2e^{\lambda t}+b\,\lambda e^{\lambda t}+c\, e^{\lambda t}=0\] oftewel, na delen door \(e^{\lambda t}\), \[a\,\lambda^2+b\,\lambda + c=0\] Dit is de zogenaamde karakteristieke vergelijking van de differentiaalvergelijking. Elke wortel van deze kwadratische vergelijking geeft een oplossing \(e^{\lambda t}\).
De aard van de oplossingen wordt bepaald door het teken van de discriminant \(D=b^2-4ac\). Als \(D>0\), dan hebben we twee reële wortels. Als \(D=0\) hebben we één reële oplossing. Tenslotte, als \(D<0\), dan hebben we complexe wortels. We bekijken de oplossingen van de differentiaalvergelijking voor de drie gevallen apart.