Homogene lineaire GDVs met orde 2 en constante coëfficiënten

Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten

Homogene lineaire GDVs met orde 2 en constante coëfficiënten

Een differentiaalvergelijking van de vorm $a\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y=0$ waarbij $a$ , $b$ en $c$ reële constanten zijn met $a\neq 0$ heet een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten.

Het woord lineair betekent in dit verband twee dingen:

Als $y(t)$ een oplossing is van de differentiaalvergelijking, dan is $A\cdot y(t)$ ook een oplossing.
Als $y_1(t)$ en $y_2(t)$ oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn, dan is $y_1(t)+y_2(t)$ ook een oplossing.

Je kunt deze twee beweringen samen nemen door te zeggen dat met elk tweetal oplossingen $y_1(t)$ en $y_2(t)$ van de differentiaalvergelijking ook elke lineaire combinatie $A\,y_1(t)+B\,y_2(t)$ een oplossing is.

Laat zien dat $y_1=e^{t}$ en $y_2=e^{-3 t}$ oplossingen zijn van de GDV $\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+2\frac{\dd y}{\dd t}-3 y(t)=0$

We hebben $y_1=e^{t},\qquad \frac{\dd y_1}{\dd t}= e^{t},\qquad \frac{\dd^2y_1}{\dd t^2}= e^{t}$ Dus: $\frac{\dd^2y_1}{\dd t^2}+2\frac{\dd y_1}{\dd t}-3 y_1(t)= e^{t} + 2\times e^{t}-3 e^{t} = e^{t}(1+2-3)=0$
Evenzo hebben we $y_2=e^{-3 t},\qquad \frac{\dd y_2}{dt}= -3 e^{-3 t},\qquad \frac{\dd^2y_2}{\dd t^2}=9e^{-3 t}$ Dus: $\frac{\dd^2y_2}{\dd t^2}+2\frac{\dd y_2}{\dd t}-3 y_2(t)= 9 e^{-3 t} + 2\times -3e^{-3 t}-3 e^{-3 t} = e^{-3 t}(9-6-3)=0$

Nieuw voorbeeld

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking van de vorm $a\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y=0$ krijgen we door $e$ -machten als oplossingen te proberen. Stel dat $y(t)=e^{\lambda t}$ een oplossing is, dan geeft invullen in de GDV de gelijkheid $a\,\lambda^2e^{\lambda t}+b\,\lambda e^{\lambda t}+c\, e^{\lambda t}=0$ oftewel, na delen door $e^{\lambda t}$ , $a\,\lambda^2+b\,\lambda + c=0$ Dit is de zogenaamde karakteristieke vergelijking van de differentiaalvergelijking. Elke wortel van deze kwadratische vergelijking geeft een oplossing $e^{\lambda t}$ .

De aard van de oplossingen wordt bepaald door het teken van de discriminant $D=b^2-4ac$ . Als $D>0$ , dan hebben we twee reële wortels. Als $D=0$ hebben we één reële oplossing. Tenslotte, als $D<0$ , dan hebben we complexe wortels. We bekijken de oplossingen van de differentiaalvergelijking voor de drie gevallen apart.