Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten
Positieve discriminant
Karakteristieke vergelijking met positieve discriminant We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm \[a\,\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\,\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y(t)=0\] De bijpassende karakteristieke vergelijking is \[a\,\lambda^2+b\,\lambda+c=0\]
We beperken ons tot het geval dat de discriminant \(D=b^2-4ac\) positief is. Dan zijn er volgens de abc-formule dus twee reële nulpunten, zeg \[\lambda_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\qquad\text{en}\qquad \lambda_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\] De volgende twee functies zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking \[y_1(t)=e^{\lambda_1t}\qquad\text{en}\qquad y_2(t)=e^{\lambda_2t}\] Sterker nog, elke oplossing kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee 'basisoplossingen'. Met andere woorden, de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking kan geschreven worden als \[y(t)=c_1\,y_1(t)+c_2\,y_2(t)=c_1\,e^{\lambda_1t}+c_2\,e^{\lambda_2t}\] voor zekere constanten \(c_1\) en \(c_2\). Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.
De discriminant \(D\) van karakteristieke veelterm \[\lambda^2+\lambda-2=0\] is gelijk aan \[D=(1\times 1)-(4\times -2) = 9 = 3^2\] De nulpunten van de karakteristieke veelterm zijn dus \[\lambda_{1,2}= \frac{-1\pm 3}{2}\] oftewel \[\lambda_1=1 \qquad\text{en}\qquad\lambda_2=-2\] Als je de gelijkheid \[\lambda^2+\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda+2)\] via ontbinding in factoren via inspectie gevonden had, was deze conclusie evident geweest.
De differentaalvergelijking heeft dus de volgende algemene oplossing: \[y(t)=A\,e^{t}+B\,e^{-2t}\] met constanten \(A\) en \(B\).
Met behulp van de beginwaarden \[y(0)=1, \qquad \frac{\dd y}{\dd t}(0)=1\] stellen we vergelijkingen op waaraan \(A\) en \(B\) moeten voldoen. Invullen van \(t=0\) en \(y(0)=1\) in de algemene oplossing \(y(t)=A\,e^{t}+B\,e^{-2t}\) geeft \[A+B=1\] Om de tweede beginwaarde te kunnen gebruiken hebben we de afgeleide van de algemene oplossing nodig; deze is te bereken met rekenregels voor differentiëren en de afgeleide van de exponentiële functie: \[y'(t)=A\,e^{t}-2B\,e^{-2t}\] Invullen van \(t=0\) en \(y'(0)=1\) geeft de vergelijking \[A-2B=1\] We hebben dus te maken met het volgende stelsel van vergelijkingen voor de onbekenden \(A\) en \(B\): \[\left\{\begin{aligned}A+\phantom{2}B&= 1\\ A-2B&= 1\end{aligned}\right.\] De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is \[A=1 \qquad\text{en}\qquad B=0\] De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus \[y(t)=\e^{t}\]
