Positieve discriminant

Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten

Positieve discriminant

Karakteristieke vergelijking met positieve discriminant We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm

$a\,\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\,\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y(t)=0$ De bijpassende karakteristieke vergelijking is

$a\,\lambda^2+b\,\lambda+c=0$

We beperken ons tot het geval dat de discriminant $D=b^2-4ac$ positief is. Dan zijn er volgens de abc-formule dus twee reële nulpunten, zeg

$\lambda_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\qquad\text{en}\qquad \lambda_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ De volgende twee functies zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking

$y_1(t)=e^{\lambda_1t}\qquad\text{en}\qquad y_2(t)=e^{\lambda_2t}$ Sterker nog, elke oplossing kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee 'basisoplossingen'. Met andere woorden, de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking kan geschreven worden als

$y(t)=c_1\,y_1(t)+c_2\,y_2(t)=c_1\,e^{\lambda_1t}+c_2\,e^{\lambda_2t}$ voor zekere constanten $c_1$ en $c_2$ . Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.

Los het volgende beginwaardeprobleem op:

$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}-2\frac{\dd y}{\dd t}-3\, y(t)=0,\qquad y(0)=-3, \qquad \frac{dy}{dt}(0)=3$

De discriminant $D$ van karakteristieke veelterm

$\lambda^2-2\lambda-3=0$ is gelijk aan

$D=(-2\times -2)-(4\times -3) = 16 = 4^2$ De nulpunten van de karakteristieke veelterm zijn dus

$\lambda_{1,2}= \frac{-(-2)\pm 4}{2}$ oftewel

$\lambda_1=-1 \qquad\text{en}\qquad\lambda_2=3$ Als je de gelijkheid

$\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda+1)(\lambda-3)$ via ontbinding in factoren via inspectie gevonden had, was deze conclusie evident geweest.

De differentaalvergelijking heeft dus de volgende algemene oplossing:

$y(t)=A\,e^{-t}+B\,e^{3t}$ met constanten $A$ en $B$ .

Met behulp van de beginwaarden

$y(0)=-3, \qquad \frac{\dd y}{\dd t}(0)=3$ stellen we vergelijkingen op waaraan $A$ en $B$ moeten voldoen. Invullen van $t=0$ en $y(0)=-3$ in de algemene oplossing $y(t)=A\,e^{-t}+B\,e^{3t}$ geeft

$A+B=-3$ Om de tweede beginwaarde te kunnen gebruiken hebben we de afgeleide van de algemene oplossing nodig; deze is te bereken met rekenregels voor differentiëren en de afgeleide van de exponentiële functie:

$y'(t)=-A\,e^{-t}+3B\,e^{3t}$ Invullen van $t=0$ en $y'(0)=3$ geeft de vergelijking

$-A+3B=3$ We hebben dus te maken met het volgende stelsel van vergelijkingen voor de onbekenden $A$ en $B$ :

$\left\{\begin{aligned}A+\phantom{2}B&= -3\\ -A+3B&= 3\end{aligned}\right.$ De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is

$A=-3 \qquad\text{en}\qquad B=0$ De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus

$y(t)=-3\,\e^ {- t }$

Nieuw voorbeeld